Đối với học sinh lớp 10, vectơ là một khái niệm mới và quan trọng trong chương trình Toán học. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về vectơ, từ định nghĩa cơ bản đến các khái niệm liên quan như vectơ cùng phương, cùng hướng, vectơ bằng nhau và vectơ không.
1. Định Nghĩa Vectơ
Trong hình học, đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA không có sự khác biệt về bản chất. Tuy nhiên, trong thực tế, chúng ta cần xác định chiều đi giữa hai điểm khác nhau. Ví dụ, chiều từ Hà Nội vào TP.HCM khác với chiều từ TP.HCM ra Hà Nội. Để biểu diễn chiều đi này, khái niệm vectơ ra đời.
- Chiều đi từ A tới B: Ta có vectơ AB, trong đó A là điểm đầu và B là điểm cuối.
- Chiều đi từ B tới A: Ta có vectơ BA, trong đó B là điểm đầu và A là điểm cuối.
Như vậy, cho hai điểm phân biệt A và B, vectơ AB biểu diễn chiều đi của đoạn thẳng AB.
Vectơ AB với điểm đầu A và điểm cuối B
Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Kí hiệu: Vectơ thường được ký hiệu bằng hai chữ in hoa chỉ điểm đầu và điểm cuối (ví dụ: AB), hoặc bằng một chữ in thường có dấu mũi tên trên đầu (ví dụ: a).
Ví dụ:
Ví dụ minh họa các vectơ
2. Hai Vectơ Cùng Phương
Với đoạn thẳng AB, ta có đường thẳng AB chứa cả hai điểm A và B. Với hai điểm A và B ta có hai vectơ AB và BA thì ta thấy rằng vectơ AB nằm toàn bộ trên đường thẳng AB. Khi đó, ta nói rằng đường thẳng AB là giá của vectơ AB.
Định nghĩa: Giá của vectơ là một đường thẳng chứa vectơ đó.
Xét hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau, với các điểm A, B, C, D, E, F (như hình). Ta xét các vectơ AB, BC, ED, EF.
Vectơ AB và vectơ BC có giá là d1, do đó chúng cùng phương với nhau. Vectơ ED và vectơ EF có giá là d2, do đó chúng cũng cùng phương với nhau.
Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ:
Ví dụ về các vectơ cùng phương
3. Vectơ Cùng Hướng – Vectơ Bằng Nhau
a. Vectơ cùng hướng:
Định nghĩa: Hai vectơ cùng hướng là hai vectơ cùng phương và có chiều đi giống nhau.
Xét hình bình hành ABCD. Tìm các vectơ cùng phương với vectơ AB được lấy từ 4 điểm A, B, C, D, thỏa mãn điểm đầu và điểm cuối khác nhau.
Hình bình hành ABCD minh họa các vectơ cùng hướng
Ta thấy rằng vectơ AB và vectơ DC cùng hướng từ trái sang phải, do đó chúng là hai vectơ cùng hướng với nhau.
Lưu ý: Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Ứng dụng: Tính chất cùng phương của vectơ được sử dụng để chứng minh ba điểm thẳng hàng. Cho ba điểm phân biệt A, B, C, để chứng minh ba điểm này thẳng hàng, ta xét tính cùng phương của vectơ AB và AC (hoặc AB và BC). Nếu hai vectơ này cùng phương thì ba điểm A, B, C thẳng hàng và ngược lại.
Ví dụ về ba điểm thẳng hàng và vectơ cùng phương
b. Vectơ bằng nhau:
Định nghĩa: Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có cùng độ dài.
Độ dài của vectơ AB, ký hiệu là |AB|, chính là độ dài của đoạn thẳng AB.
Xét hình bình hành ABCD, ta có AB = DC, AB // DC và cùng hướng với nhau, do đó vectơ AB bằng vectơ DC.
Trong mặt phẳng cho trước một vectơ và một điểm cố định bất kì, ta luôn xác định được một điểm sao cho vectơ có điểm đầu cho trước và vectơ vừa cho là hai vectơ bằng nhau.
Ví dụ:
Ví dụ minh họa các vectơ bằng nhau
4. Vectơ – Không
Định nghĩa: Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu: 0 (có mũi tên trên đầu).
Tính chất:
- Vectơ không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.
- Mọi vectơ không đều bằng nhau.
- Độ dài của vectơ không luôn luôn bằng không.
Ký hiệu vectơ không
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và dễ hiểu về khái niệm vectơ trong chương trình Toán học lớp 10. Nắm vững các kiến thức cơ bản này sẽ giúp bạn học tốt hơn và ứng dụng vào giải các bài toán liên quan.