Nhân liên hợp là một kỹ thuật hiệu quả để giải các phương trình và bất phương trình chứa căn thức, đặc biệt khi ta nhận thấy một nghiệm “đẹp” của phương trình hoặc bất phương trình đó. Phương pháp này giúp đơn giản hóa bài toán bằng cách khử căn, đưa về dạng đa thức dễ giải hơn.
Mục Lục
1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp
Ý tưởng chính của phương pháp nhân liên hợp là biến đổi biểu thức chứa căn thức thành một biểu thức tương đương không chứa căn, từ đó việc phân tích thành nhân tử trở nên dễ dàng hơn.
Nhắc lại về biểu thức liên hợp:
-
Biểu thức liên hợp của $sqrt{A} pm sqrt{B}$ là $sqrt{A} mp sqrt{B}$, và ta có:
$$sqrt{A} pm sqrt{B} = frac{A-B}{sqrt{A} mp sqrt{B}}$$ -
Biểu thức liên hợp của $sqrt[3]{A} pm sqrt[3]{B}$ là $(sqrt[3]{A})^2 mp sqrt[3]{A}sqrt[3]{B} + (sqrt[3]{B})^2$, và ta có:
$$sqrt[3]{A} pm sqrt[3]{B} = frac{A pm B}{(sqrt[3]{A})^2 mp sqrt[3]{A}sqrt[3]{B} + (sqrt[3]{B})^2}$$
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Tìm nghiệm $x_0$ của phương trình (bằng cách nhẩm nghiệm hoặc sử dụng máy tính).
- Bước 2: Biến đổi phương trình bằng cách tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp, sau đó nhân và chia với biểu thức liên hợp. Mục tiêu là tạo ra một biểu thức có chứa nhân tử $(x – x_0)$.
2. Ví dụ giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp
Ví dụ 1: Giải phương trình $x^3 + 11 = 3sqrt{x + 3}$
Hướng dẫn:
Ta nhận thấy phương trình có nghiệm $x = 2$. Để sử dụng phương pháp nhân liên hợp, ta biến đổi phương trình như sau:
x^3 + 11 = 3sqrt{x + 3}
<=> x^3 + 8 - 3sqrt{x + 3} + 3 = 0
<=> (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - frac{3(x - 1)}{sqrt{x + 3} + 1} = 0
<=> (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - frac{3(x - 2)}{sqrt{x + 3} + 1} = 0
<=> (x - 2)(x^2 + 2x + 4 - frac{3}{sqrt{x + 3} + 1}) = 0Từ đó, ta có hai trường hợp:
- $x – 2 = 0 Rightarrow x = 2$
- $x^2 + 2x + 4 – frac{3}{sqrt{x + 3} + 1} = 0$ (*)
Xét phương trình (*):
Ta có:
${x^2} + 2x + 4 ge 3$
$- frac{3}{{sqrt {x + 3} + 1}} ge – 3$
$Rightarrow {x^2} + 2x + 4 – frac{3}{{sqrt {x + 3} + 1}} ge 0$.
Bất phương trình cuối không xảy ra dấu bằng nên phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 2$.
Ví dụ 2: Giải phương trình $sqrt{x+1} + 1 = 4x^2 + sqrt{3x}$
Hướng dẫn:
Với điều kiện $x ge 0$, phương trình đã cho tương đương với:
4x^2 - 1 + sqrt{3x} - sqrt{x+1} = 0
<=> (2x + 1)(2x - 1) + frac{3x - (x + 1)}{sqrt{3x} + sqrt{x+1}} = 0
<=> (2x + 1)(2x - 1) + frac{2x - 1}{sqrt{3x} + sqrt{x+1}} = 0
<=> (2x - 1)(2x + 1 + frac{1}{sqrt{3x} + sqrt{x+1}}) = 0Vì $2x + 1 + frac{1}{sqrt{3x} + sqrt{x+1}} > 0$ với mọi $x ge 0$, nên:
$2x – 1 = 0 Rightarrow x = frac{1}{2}$
So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là $x = frac{1}{2}$.
Ví dụ 3: Giải phương trình $sqrt[3]{x^2 – 1} + x = sqrt{x^3 – 2}$
Hướng dẫn:
Điều kiện: $x ge sqrt[3]{2}$. Nhận thấy $x = 3$ là một nghiệm, ta biến đổi như sau:
sqrt[3]{x^2 - 1} - 2 + x - 3 = sqrt{x^3 - 2} - 5
<=> frac{x^2 - 9}{sqrt[3]{(x^2 - 1)^2} + 2sqrt[3]{x^2 - 1} + 4} + x - 3 = frac{x^3 - 27}{sqrt{x^3 - 2} + 5}
<=> (x - 3)(frac{x + 3}{sqrt[3]{(x^2 - 1)^2} + 2sqrt[3]{x^2 - 1} + 4} + 1) = frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{sqrt{x^3 - 2} + 5}
<=> x = 3Ta có:
[begin{array}{*{20}{c}}{1 + frac{{x + 3}}{{sqrt[3]{{{{left( {{x^2} – 1} right)}^2}}} + 2sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + frac{{x + 3}}{{{{left( {sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 1} right)}^2} + 3}}} {}&{ < 2 < frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{sqrt {{x^3} – 2} + 5}}} end{array}]nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
Ví dụ 4: Giải phương trình $sqrt{3x^2 – 5x + 1} – sqrt{x^2 – 2} = sqrt{3(x^2 – x – 1)} – sqrt{x^2 – 3x + 4}$
Hướng dẫn:
Nhận xét $(3x^2 – 5x + 1) – (3x^2 – 3x – 3) = -2(x – 2)$ và $(x^2 – 2) – (x^2 – 3x + 4) = 3(x – 2)$. Ta biến đổi phương trình như sau:
sqrt{3x^2 - 5x + 1} - sqrt{3(x^2 - x - 1)} = sqrt{x^2 - 2} - sqrt{x^2 - 3x + 4}
<=> frac{-2(x - 2)}{sqrt{3x^2 - 5x + 1} + sqrt{3(x^2 - x - 1)}} = frac{3(x - 2)}{sqrt{x^2 - 2} + sqrt{x^2 - 3x + 4}}
<=> (x - 2)(frac{3}{sqrt{x^2 - 2} + sqrt{x^2 - 3x + 4}} + frac{2}{sqrt{3x^2 - 5x + 1} + sqrt{3(x^2 - x - 1)}}) = 0Vì $frac{3}{sqrt{x^2 – 2} + sqrt{x^2 – 3x + 4}} + frac{2}{sqrt{3x^2 – 5x + 1} + sqrt{3(x^2 – x – 1)}} > 0$, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 2$.
Ví dụ 5: Giải phương trình $sqrt{x^2 + 15} = 3x – 2 + sqrt{x^2 + 8}$
Hướng dẫn:
Nhẩm được nghiệm $x = 1$, ta biến đổi và nhân liên hợp:
sqrt{x^2 + 15} - 4 = 3x - 3 + sqrt{x^2 + 8} - 3
<=> frac{x^2 - 1}{sqrt{x^2 + 15} + 4} = 3(x - 1) + frac{x^2 - 1}{sqrt{x^2 + 8} + 3}Xét hai trường hợp:
- $x = 1$: thỏa mãn phương trình, vậy $x = 1$ là nghiệm.
- $x ne 1$: phương trình trở thành:
frac{x + 1}{sqrt{x^2 + 15} + 4} = frac{x + 1}{sqrt{x^2 + 8} + 3} + 3Vì $sqrt{x^2 + 15} > sqrt{x^2 + 8}$ nên từ phương trình đã cho, ta có:
3x - 2 = sqrt{x^2 + 15} - sqrt{x^2 + 8} > 0
<=> x > frac{2}{3}Suy ra $x + 1 > 0$ và do đó $frac{x + 1}{sqrt{x^2 + 8} + 3} + 3 > frac{x + 1}{sqrt{x^2 + 15}}$. Vậy phương trình vô nghiệm trong trường hợp này.
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.
Ví dụ 6: Giải phương trình $sqrt{3x+1}-sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0$
Hướng dẫn:
Điều kiện: $-frac{1}{3} le x le 6$. Đoán được nghiệm $x=5$, ta tách phương trình đã cho thành:
$(sqrt{3x+1}-4)-(sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-8=0$
Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được:
$frac{3(x-5)}{sqrt{3x+1}+4}-frac{5-x}{sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0$
$Leftrightarrow (x-5)left(frac{3}{sqrt{3x+1}+4}+frac{1}{sqrt{6-x}+1}+3x+1right)=0$
Vì $-frac{1}{3} le x le 6$ nên $frac{3}{sqrt{3x+1}+4}+frac{1}{sqrt{6-x}+1}+3x+1>0$, do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=5$.
Ví dụ 7: Giải phương trình $(x+3)sqrt{x+4}+(x+9)sqrt{x+11}=x^2+9x+10$
Hướng dẫn:
Điều kiện $x ge -4$. Dễ dàng đoán được nghiệm $x = 5$, nên ta tách thành:
$(x+3)left(sqrt{x+4}-3right)+(x+9)left(sqrt{x+11}-4right)=x^2+2x-35$
Sau đó, nhân liên hợp được:
$(x+3)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+4}+3}+(x+9)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)$
$Leftrightarrow (x-5)left(frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7right)=0$
Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
$frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7=0,,(*)$
Vì điều kiện là $x ge -4$ và chú ý rằng các phân thức $frac{1}{sqrt{x+4}+3}$ và $frac{1}{sqrt{x+11}+4}$ đều có giá trị nhỏ hơn $frac{1}{2}$, nên ta tách như sau:
$VT(*)= frac{x+4}{sqrt{x+4}+3}-frac{x+4}{2}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-frac{x+9}{2}-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}$
$=(x+4)left(frac{1}{sqrt{x+4}+3}-frac{1}{2}right)+(x+9)left(frac{1}{sqrt{x+11}+4}-frac{1}{2}right)-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}$
$<0$
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=5$.
Ví dụ 8: Giải phương trình $sqrt{x^2+8}-sqrt{x^2+3}=2x-1$
Hướng dẫn:
Đoán được nghiệm $x=1$ nên ta tách PT đã cho thành
$left(sqrt{x^2+8}-3right)-left(sqrt{x^2+3}-2right)-2(x-1)=0$
Sử dụng phương pháp nhân liên hợp được
$(x-1)left((x+1)left(frac{1}{sqrt{x^2+8}+3}-frac{1}{sqrt{x^2+3}+2}right)-2right)=0$
Nhận xét rằng $sqrt{x^2+8}+3>sqrt{x^2+3}+2$ nên
$frac{1}{sqrt{x^2+8}+3}-frac{1}{sqrt{x^2+3}+2}<0$
Mặt khác, từ phương trình đã cho có $2x-1=sqrt{x^2+8}-sqrt{x^2+3}>0 Leftrightarrow x>frac{1}{2} Leftrightarrow x+1>frac{3}{2} .$
Do đó,
$(x+1)left(frac{1}{sqrt{x^2+8}+3}-frac{1}{sqrt{x^2+3}+2}right)<0$
và dẫn tới
$(x+1)left(frac{1}{sqrt{x^2+8}+3}-frac{1}{sqrt{x^2+3}+2}right)-2<0$
Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$.
Ví dụ 9: Giải phương trình $sqrt{x^2+5}+sqrt{x^2+12}-sqrt{x^2-3}=18-6x$
Hướng dẫn:
Đoán được nghiệm $x=2$ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.
Ví dụ 10: Giải phương trình $left( sqrt{x-1}+sqrt{x+2} right)left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)=3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định của phương trình là $xge 1$. Với điều kiện đó, ta có: $(x+2)-(x-1)=3>0$ nên $sqrt{x+2}-sqrt{x-1}>0$ với $xge 1$. Nhân hai vế của phương trình với $sqrt{x+2}-sqrt{x-1}$ ta được
$bigg( (x+2)-(x-1) bigg)left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)=3left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)$
$Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=sqrt{x+2}-sqrt{x-1}$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l} sqrt{{{x}^{2}}+x-2}ge 1 {{left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)}^{2}}={{left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)}^{2}} end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-3ge 0 {{x}^{2}}+x-1-2sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2sqrt{x+2}.sqrt{x-1} end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-3ge 0 {{x}^{2}}-x-2=0 end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-3ge 0 x=-1vee x=2 end{array} right.Leftrightarrow x=-1vee x=2.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1,x=2.$
Ví dụ 11: Giải bất phương trình $left( sqrt{x+3}-sqrt{x-1} right)left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2text{x}-3} right)ge 4$
Hướng dẫn:
Điều kiện $ xge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với
$ 4left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} right)ge 4left( sqrt{x+3}+sqrt{x-1} right)$
$Leftrightarrow 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge sqrt{x+3}+sqrt{x-1}$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge 2x+2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}-4ge 0$
$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}xle -2 xge 2 end{array} right.$
Kết hợp với điều kiện $xge 1$ ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2,+infty)$.
Ví dụ 12: Giải bất phương trình $2x+5>sqrt{2-x}left(sqrt{x-1}+sqrt{3x+4}right)$
Hướng dẫn:
Điều kiện $ 1le xle 2. $ Chúng ta có
$ 2x+5=3x+4-(x-1)=left(sqrt{x-1}+sqrt{3x+4}right)left(sqrt{3x+4}-sqrt{x-1}right) $
nên bất phương trình đã cho tương đương với tương đương với
$left(sqrt{x-1}+sqrt{3x+4}right)left(sqrt{3x+4}-sqrt{x-1}right)>sqrt{2-x}left(sqrt{x-1}+sqrt{3x+4}right)$
$Leftrightarrow sqrt{3x+4}-sqrt{x-1}>sqrt{2-x} text{quad (vì $ sqrt{x-1}+sqrt{3x+4}>0 $)}$
Giải bất phương trình này, kết hợp điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=[1;2] $
Ví dụ 13: Giải phương trình $sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}+sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=x+4$
Hướng dẫn:
Nhận xét rằng
$left( 2{{x}^{2}}+x+9 right)-left( 2{{x}^{2}}-x+1 right)=2left( x+4 right)$
Vì $ x=4 $ không là nghiệm nên ta xét $ xne 4 $ và nhân chia liên hiệp để trục căn thức được
$frac{2x+8}{sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}=x+4Rightarrow sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=2$
Thu được hệ phương trình
$left{ begin{array}{l} sqrt {2{x^2} + x + 9} – sqrt {2{x^2} – x + 1} = 2 sqrt {2{x^2} + x + 9} + sqrt {2{x^2} – x + 1} = x + 4 end{array} right. Rightarrow 2sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0 x = frac{8}{7} end{array} right. $
Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = frac{8}{7}. $
3. Bài tập tự luyện
Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập phương pháp nhân liên hợp:
Bài 1: Giải phương trình $sqrt{2x-3} – sqrt{x} = 2x – 6$
Đáp số: $x = 3$
Bài 2: Giải phương trình $sqrt{4x^2 + 5x + 1} – 2sqrt{x^2 – x + 1} = 9x – 3$
Đáp số: $x = frac{1}{3}$
Bài 3: Giải phương trình $sqrt{10x+1} + sqrt{3x-5} = sqrt{9x+4} + sqrt{2x-2}$
Hướng dẫn: Nhóm thành $(sqrt{10x+1} – sqrt{9x+4}) + (sqrt{3x-5} – sqrt{2x-2}) = 0$, rồi nhân liên hợp…
Đáp số: $x = 3$
Bài 4: Giải phương trình $sqrt{x-2} + sqrt{4-x} = 2x^2 – 5x – 1$
Hướng dẫn: Tách thành $(sqrt{x-2} – 1) + (sqrt{4-x} – 1) – (2x^2 – 5x – 3) = 0$. Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $x – 3$, xét hàm cho nhân tử còn lại…
Đáp số: $x = 3$
Bài 5: Giải phương trình $2sqrt{(2-x)(5-x)} = x + sqrt{(2-x)(10-x)}$
Đáp số: $x = 1, x = frac{15 + 5sqrt{5}}{2}$
Bài 6: Giải phương trình $sqrt[3]{x^2 + 4} = sqrt{x-1} + 2x – 3$
Đáp số: $x = 2$
Bài 7: Giải phương trình $sqrt[3]{x^2 – 1} + sqrt{3x^3 – 2} = 3x – 2$
Bài 8: Giải phương trình $2x^2 – 11x + 21 – 3sqrt[3]{4x-4} = 0$ (Đề thi Olympic 30/4 năm 2007)
Bài 9: Giải phương trình $sqrt{2x^2 + 16x + 18} + sqrt{x^2 – 1} = 2x + 4$
Bài 10: Giải phương trình $x^2 + 3x + 1 = (x+3)sqrt{x^2 + 1}$
Bài 11: Giải phương trình $1 + sqrt{x} = 4x^2 + sqrt{3x-1}$
Đáp số: $x = frac{1}{2}$
Bài 12: Giải phương trình $sqrt{x} = 1 – sqrt[3]{3x^2+x-1} + sqrt[3]{2x+1}$
Đáp số: $x = 1$
Bài 13: Giải phương trình $2sqrt{x^2 + 5} = 2sqrt{x – 1} + x^2$
Hướng dẫn: Biến đổi thành $2sqrt{x^2 + 5} – 6 = 2sqrt{x – 1} – 2 + x^2 – 4 Leftrightarrow 2frac{x^2 – 4}{sqrt{x^2 + 5} + 3} = 2frac{x – 2}{sqrt{x – 1} + 1} + (x – 2)(x + 2)$. Tìm được $x = 2$ hoặc $frac{2(x+2)}{sqrt{x^2 + 5} + 3} = frac{2}{sqrt{x – 1} + 1} + x + 2 Leftrightarrow frac{2}{{sqrt {x – 1} + 1}} + left( {x + 2} right)left( {1 – frac{2}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} right) = 0 $. Phương trình cuối này vô nghiệm.
Bài 14: Giải phương trình $sqrt{x^2 + 12} + 5 = 3x + sqrt{x^2 + 5}$
Hướng dẫn: Để phương trình có nghiệm thì: $sqrt{{{x}^{2}}+12}-sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5ge 0Leftrightarrow xge frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành
$sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+sqrt{{{x}^{2}}+5}-3Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3left( x-2 right)+frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}$
$ Leftrightarrow left( x-2 right)left( frac{x+2}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-frac{x+1}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 right)=0Leftrightarrow x=2$
Chứng minh được $frac{x+2}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-frac{x+2}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3<0,forall x>frac{5}{3}$.
Đáp số: $x = 2$
Bài 15: Giải bất phương trình $frac{1 – sqrt{1 – 4x^2}}{x} < 3$
Đáp số: $ left[ -frac{1}{2};frac{1}{2} right]backslash left{ 0 right}$