Lũy thừa là một khái niệm toán học quan trọng, xuất hiện thường xuyên trong chương trình đại số ở trường phổ thông. Bài viết này từ Sen Tây Hồ sẽ cung cấp cho bạn cái nhìn toàn diện về lũy thừa, từ định nghĩa cơ bản đến các dạng toán liên quan và ứng dụng thực tế.
Mục Lục
Khái Niệm Lũy Thừa
Lũy thừa với số mũ nguyên
Lũy thừa là một phép toán thực hiện trên hai số a và b, ký hiệu là (a^b), đọc là “a lũy thừa b” hoặc “lũy thừa bậc b của a”. Trong đó, a được gọi là cơ số và b được gọi là số mũ.
Với n là một số nguyên dương:
-
Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a:
(a^{n} = underbrace{a times a times … times a}_{n text{ lần}})
-
Với (a neq 0):
-
Lũy thừa của số a khác 0 với số mũ -1 là số nghịch đảo của nó:
(a^{-1} = frac{1}{a})
-
Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm (m = -n) là:
(a^{m} = a^{-n} = frac{1}{a^{n}})
Ví dụ:
(3^{-2} = frac{1}{3^{2}} = frac{1}{3 times 3} = frac{1}{9})
-
-
Lũy thừa với số mũ 0 của số a (khác 0) bằng 1:
(1 = frac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n-n} = a^{0})
Lũy thừa của 0 và 1
- (0^{m} = 0) (với m > 0)
- (1^{m} = 1)
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương
Cho a là số thực dương và số hữu tỉ (frac{m}{n}), lũy thừa với số mũ hữu tỉ (frac{m}{n}) là số (a^{frac{m}{n}}) được định nghĩa là:
(a^{frac{m}{n}} = (a^{m})^{frac{1}{n}} = sqrt[n]{a^{m}})
Định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm khi căn thức có nghĩa.
Căn bậc n của một số thực dương
Phép khai căn hay căn bậc n của số a là một số x sao cho (x^{n} = a)
Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương, x không âm thì có đúng một số thực dương x sao cho (x^{n} = a).
x được gọi là căn số học bậc n của a, ký hiệu là (sqrt[n]{a})
trong đó (sqrt{}) là ký hiệu căn.
Lũy thừa với số mũ thực
Vì mỗi số thực có thể được xấp xỉ bởi các số hữu tỉ, do đó lũy thừa với số mũ thực x có thể định nghĩa qua giới hạn:
(b^{x} = lim_{r to x} b^{r})
trong đó: r tiến tới x chỉ trong các giá trị hữu tỉ của r.
Ví dụ:
(x approx 1.732)
thì (5^{x} approx 5^{1.732} = 5^{frac{433}{250}} = sqrt[250]{5^{433}} approx 16.241)
Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng sử dụng logarit thay cho giới hạn của các số hữu tỉ:
(a^{x} = e^{x cdot ln a})
với mọi số thực x và số thực dương a.
Lũy thừa số mũ phức của số e
Căn cứ vào biểu diễn lượng giác của các số phức, lũy thừa số mũ phức của số e được định nghĩa như sau:
Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:
(e^{ix} = cos x + i cdot sin x)
Sau đó với số phức (z = x + yi), ta có:
(e^{z} = e^{x+yi} = e^{x} cdot e^{yi} = e^{x}(cos y + i cdot sin y))
Tính Chất Của Lũy Thừa Với Số Mũ Nguyên Dương
Các tính chất quan trọng nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là:
- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: (a^{m} cdot a^{n} = a^{m+n})
Chia hai lũy thừa cùng cơ số
(frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}) (với a thuộc N*, m ≥ n).
Lũy thừa của lũy thừa
((a^{m})^{n} = a^{mn})
Nhân hai lũy thừa cùng số mũ
(a^{m} cdot b^{m} = (ab)^{m})
Chia hai lũy thừa cùng số mũ
(frac{a^{m}}{b^{m}} = (frac{a}{b})^{m})
(sqrt[m]{a^{n}} = a^{frac{n}{m}}) (m thuộc N, m ≥ 2, a thuộc R)
So Sánh Hai Lũy Thừa Cùng Cơ Số, Cùng Số Mũ
So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
-
Nếu hai lũy thừa có cùng cơ số (> 1) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn:
(m > n Rightarrow a^{m} > a^{n}) (a > 1)
-
Nếu 2 lũy thừa có cùng cơ số (< 1):
(m > n Rightarrow a^{m} Ví dụ: So sánh (2^{5}) và (2^{9})
Ta thấy 2 số trên có cùng cơ số là 2, và (5 < 9 Rightarrow 2^{5} < 2^{9})
So sánh hai lũy thừa cùng số mũ
-
Nếu hai lũy thừa có cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn:
(a > b Rightarrow a^{n} > b^{n}) (n > 0)
Ví dụ: So sánh (4^{5}) và (6^{5})
Ta thấy 2 số trên có cùng số mũ là 5 và (4 < 6 Rightarrow 4^{5} < 6^{5})
Ngoài ra, để so sánh hai lũy thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân.
(a^{0}) (với a ≠ 0)
Ví dụ: So sánh (32^{10}) và (16^{15}), số nào lớn hơn.
Ta thấy các cơ số 32 và 16 khác nhau nhưng đều là lũy thừa của 2 nên ta tìm cách đưa (32^{10}) và (16^{15}) về lũy thừa cùng cơ số 2.
(32^{10} = (2^{5})^{10} = 2^{50})
(16^{15} = (2^{4})^{15} = 2^{60})
Vì (2^{50} < 2^{60} Rightarrow 32^{10} < 16^{15})
Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Để Tính Lũy Thừa
Tuy sách giáo khoa không trình bày cách tính các căn và lũy thừa của một số nhưng trong thực tế đa số các học sinh đều sử dụng một trong các loại máy CASIO fx-500 hoặc fx-570 (MS hoặc ES/ ES Plus). Dưới đây là giới thiệu vắn tắt cách tính thông qua một số ví dụ để các bạn tiện sử dụng:
Tính căn của một số
Vào mode tính toán bằng cách ấn các phím MODE, 1. Sau đó nhập số cần lấy căn kết thúc nhấn phím = ta được kết quả. Với căn bậc hai và căn bậc ba thì không cần nhập chỉ số căn, với các căn bậc bốn trở lên thì cần nhập chỉ số căn (các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx-570 MS nhập chỉ số căn ấn các phím SHIFT, x√x máy CASIO fx-570MS ấn các phím SHIFT, □√□ nhập chỉ số □, sau đó nhập số cần lấy căn cuối cùng ấn phím = để được kết quả.
Ví dụ 1: Để tính (sqrt{23.425}) (sau khi đã vào mode), ấn các phím (sqrt{}), 2, 3, ., 4, 2, 5, = . Màn hình hiển thị kết quả (4.839938016). Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy được kết quả là (4.8399).
Ví dụ 2: Tính (sqrt[7]{320})
- Các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx-570 MS, ấn liên tiếp các phím 7, SHIFT, (sqrt[x]{}), 3, 2, 0, = màn hình hiện kết quả (2.279704562). Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy ta được kết quả (≈ 2.2797).
- Với máy CASIO fx-570 ES, ấn liên tiếp các phím SHIFT, (sqrt[x]{}), 7, ⮝, 3, 2, 0, = cũng sẽ nhận được kết quả như trên.
Tính lũy thừa của một số
Vào mode tính toán, nhập cơ số, ấn phím số mũ, nhập số mũ, ấn phím = ta được kết quả. (Với các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx- 579 MS phím số mũ là phím wedge; với máy CASIO fx-570 ES thì ấn phím số mũ là ấn phím x^2).
Hy vọng với bài viết này, bạn đã nắm vững định nghĩa, khái niệm lũy thừa là gì, tính chất của lũy thừa, đặc điểm lũy thừa mũ âm, lũy thừa của một tích, lũy thừa của lũy thừa…