Hình Lăng Trụ Đứng: Định Nghĩa, Đặc Điểm và Bài Tập Vận Dụng

Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về hình lăng trụ đứng, bao gồm định nghĩa, các loại hình lăng trụ đặc biệt, công thức tính toán và các ví dụ minh họa chi tiết.

1. Hình Lăng Trụ Đứng Là Gì?

Hình lăng trụ đứng là một loại hình khối đa diện đặc biệt với những đặc điểm sau:

  • Hai đáy: Là hai đa giác phẳng hoàn toàn giống nhau (bằng nhau) và nằm trên hai mặt phẳng song song.
  • Cạnh bên: Các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.
  • Chiều cao: Độ dài cạnh bên chính là chiều cao của hình lăng trụ đứng. Các cạnh bên song song và bằng nhau.

Tên gọi của hình lăng trụ đứng được đặt theo hình dạng của đa giác đáy. Ví dụ, nếu đáy là tam giác, ta có hình lăng trụ tam giác; nếu đáy là tứ giác, ta có hình lăng trụ tứ giác. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

2. Các Loại Hình Lăng Trụ Đứng Đặc Biệt

Trong các loại hình lăng trụ đứng, có ba loại hình đặc biệt thường gặp là hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật và hình lập phương.

a. Hình Hộp Đứng

Hình hộp đứng là một trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng, trong đó đáy là hình bình hành.

  • Đặc điểm:
    • Hai mặt đáy là hình bình hành.
    • Các mặt bên đối diện là các hình chữ nhật bằng nhau.

b. Hình Hộp Chữ Nhật

Hình hộp chữ nhật là một hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

  • Đặc điểm:
    • Sáu mặt đều là hình chữ nhật.
    • Các mặt đối diện bằng nhau.

c. Hình Lập Phương

Hình lập phương là một trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật, trong đó tất cả sáu mặt đều là hình vuông.

3. Công Thức Tính Diện Tích và Thể Tích

Để tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của các hình lăng trụ, ta sử dụng các công thức sau:

Ký hiệu:

  • Sxq: Diện tích xung quanh
  • Stp: Diện tích toàn phần
  • V: Thể tích
  • p: Nửa chu vi đáy
  • h: Chiều cao
  • B: Diện tích đáy
  • a, b, c: Các kích thước của hình hộp chữ nhật

Bảng tổng hợp công thức:

Hình Diện tích xung quanh (Sxq) Diện tích toàn phần (Stp) Thể tích (V)
Hình lăng trụ đứng, hình hộp đứng 2p.h 2(p.h + B) B.h
Hình hộp chữ nhật (kích thước a, b, c) 2(a+b)c 2(ab+bc+ca) abc
Hình lập phương (cạnh a) 4a² 6a² a³

4. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các đường chéo của một hình hộp chữ nhật thì bằng nhau.

Giải:

Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Ta cần chứng minh AC’ = BD’ = CA’ = DB’.

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC, ta có:

AC² = AB² + BC² (1)

Vì AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABCD), suy ra AA’ vuông góc với AC. Do đó, tam giác A’AC vuông tại A. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

A'C² = AC² + AA'² (2)

Thay (1) vào (2), ta được:

A'C² = AB² + BC² + AA'²

Tương tự, ta có thể chứng minh:

BD'² = AB² + AD² + DD'²
CA'² = CD² + AD² + CC'²
DB'² = CD² + BC² + BB'²

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên AB = CD, BC = AD, AA’ = BB’ = CC’ = DD’. Do đó:

A'C² = BD'² = CA'² = DB'²

Suy ra: A'C = BD' = CA' = DB'.

Vậy, các đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau.

Ví dụ 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy là a và chiều cao là h.

Giải:

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.

Gọi H là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều nên: HB = 1/2 BC = a/2

Xét tam giác AHB vuông tại H: AH² = AB² - BH² = a² - (a/2)² = 3a²/4

=> AH = (a√3)/2 => B = S(ABC) = 1/2 BC.AH = (a²√3)/4

Ta có: Sxq = 2p.h = 3a.h

Stp = Sxq + 2Sđáy = 3ah + 2(a²√3)/4 = a(3h + a√3)/2

V = B.h = ((a²√3)/4).h = (a²h√3)/4

Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình phương các cạnh của hình hộp chữ nhật thì bằng tổng bình phương của các đường chéo.

Giải:

Ta có: A'C² = a² + b² + c²

A'C² = AB² + BC² + AA'²
B'D² = AB² + AD² + BB'²
C'A² = DC² + BC² + CC'²
D'B² = DC² + AD² + DD'²

Với AB = DC = A'B' = D'C'

BC = AD = A'D' = B'C'

AA' = BB' = CC' = DD'

Ta có:

A'C² + B'D² + C'A² + D'B² = AB² + A'B'² + DC² + D'C'² + AD² + BC² + B'C'² + A'D'² + AA'² + BB'² + CC'² + DD'²

Nếu gọi các cạnh là a, b, c và đường chéo là d, ta có:

4d² = 4(a² + b² + c²)

5. Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Có 12 khối vuông hình lập phương cạnh 5cm. Người ta muốn xếp chúng vào các hộp có hình dạng là hình hộp chữ nhật.

  1. Có bao nhiêu cách xếp vào các loại hộp hình hộp chữ nhật?
  2. Người ta dùng giấy màu bọc các hộp ấy. Trong các cách xếp, cách nào tiết kiệm nhất (dùng ít giấy màu nhất, không kể các mép dán)?

Giải:

  1. Để xếp được 12 khối lập phương vào các hình hộp chữ nhật, mỗi cạnh của hình hộp phải chứa một số nguyên các khối lập phương, tức là số các khối lập phương xếp theo mỗi cạnh của hình hộp phải là một ước của 12. Số 12 có các ước tự nhiên là 1; 2; 3; 4; 6; 12. Do vậy ta có thể xếp theo các cách sau:

    a) Xếp theo 1 x 1 x 12.

    Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 5 x 5 x 60 (cm)

    b) Xếp theo 1 x 2 x 6.

    Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 5 x 10 x 30 (cm)

    c) Xếp theo 1 x 3 x 4.

    Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 5 x 15 x 20 (cm)

  2. Áp dụng công thức: Stp = 2(ab + bc + ca)

    Ta tính ra diện tích toàn phần của các hình hộp chữ nhật a), b), c) như sau:

    a) 1250 (cm²)
    b) 1000 (cm²)
    c) 950 (cm²)

    Ta thấy hình hộp c) có diện tích toàn phần nhỏ nhất, nghĩa là ta sử dụng ít giấy màu nhất để bao nó.

    Vậy cách xếp c) là tiết kiệm nhất.

Bài 2: Người ta đào một đoạn mương dài 20m, sâu 1,5m. Trên bề mặt có chiều rộng 1,8m và đáy mương là 1,2m

  1. Tính thể tích khối đất phải đào lên.

  2. Người ta chuyển khối đất đi để rải lên một miếng đất chữ nhật có kích thước 30 x 60m. Số đất được chuyển bằng một chiếc ô tô có thể chở mỗi chuyến 6m³ đất. Hỏi:

    a) Bề dày của lớp đất rải trên miếng đất?

    b) Số chuyến ô tô cần để tải hết khối đất.

Giải:

  1. Thể tích cần tính coi như thể tích của một lăng trụ đứng chiều cao 20m, đáy là hình thang cân có cạnh đáy lớn 1,8m, cạnh đáy nhỏ 1,2m và chiều cao 1,5m

    Đáp số: 45 m³

  2. a. Bề dày của lớp đất rải trên miếng đất là 0,025m

    b. Số chuyến ô tô cần để tải hết khối đất là 8 chuyến.

Bài 3: Một hộp đựng phấn có hình dạng hình hộp chữ nhật kích thước 162mm x 91mm và cao 89mm, được xếp các viên phấn cũng có dạng hình hộp, đáy là hình vuông, cạnh 1cm và chiều cao mỗi viên phấn là 88mm, xếp dựng đứng trong hộp. Tính số viên phấn xếp được trong hộp.

Giải:

  • Đổi đơn vị: 162 mm = 16.2 cm; 91 mm = 9.1 cm; 89 mm = 8.9 cm.
  • Số viên phấn xếp được theo chiều dài: 16 viên
  • Số viên phấn xếp được theo chiều rộng: 9 viên
  • Tổng số viên phấn xếp được: 16 * 9 = 144 viên.

Kết luận

Hình lăng trụ đứng là một hình học quan trọng với nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững định nghĩa, đặc điểm và công thức tính toán sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về hình lăng trụ đứng.