Ma trận đơn vị là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Sau khi đã tìm hiểu về ma trận không, bài viết này sẽ đi sâu vào ma trận đơn vị, một loại ma trận đặc biệt với các giá trị cụ thể và hằng định.
Mục Lục
Ma Trận Đơn Vị Là Gì?
Ma trận đơn vị là một ma trận vuông cấp bất kỳ, trong đó các phần tử trên đường chéo chính có giá trị bằng một, còn tất cả các phần tử còn lại đều bằng không.
Để hiểu rõ hơn định nghĩa này, cần nhớ lại rằng ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Cấp của ma trận được xác định bởi kích thước của nó, và đường chéo chính là tập hợp các phần tử nằm trên đường thẳng nghiêng từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải của ma trận.
Với các đặc điểm trên, ma trận đơn vị cũng là một loại ma trận đường chéo. Ma trận đường chéo là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng không, ngoại trừ các phần tử nằm trên đường chéo chính. Trong trường hợp ma trận đơn vị, tất cả các phần tử khác không trên đường chéo chính đều có giá trị bằng một. Đây cũng là lý do tại sao ma trận đơn vị đôi khi được gọi là ma trận đồng nhất.
Trong ký hiệu đại số tuyến tính, ma trận đơn vị đóng vai trò tương đương với số 1 trong đại số số học. Nói cách khác, ma trận đơn vị tương đương với số 1, nhưng là một đối tượng đại số có kích thước và cấu trúc mảng, có thể được sử dụng trong các phép toán với các mảng số được sắp xếp khác (các ma trận khác).
Phần tiếp theo sẽ đi sâu vào các tính chất của ma trận đơn vị. Đặc biệt, định nghĩa “ma trận đơn vị” sẽ trở nên rõ ràng hơn, đặc biệt là trong phép nhân ma trận có chứa ma trận đơn vị (xem tính chất số 3).
Về mặt toán học, ma trận đơn vị được biểu diễn như sau:
Cần lưu ý, ma trận đơn vị có số lượng phần tử trên đường chéo chính bằng với cấp của nó (được ký hiệu bằng chỉ số dưới n trong biểu thức bên trái của phương trình). Các ví dụ về ma trận đơn vị với các kích thước khác nhau có thể được thấy trong phương trình sau:
Cấp của ma trận đề cập đến số lượng hàng và cột mà nó chứa, còn được gọi là kích thước m x n. Vì ma trận đơn vị là ma trận vuông nên nó có số lượng hàng và cột bằng nhau. Do đó, cấp của nó có thể được gọi đơn giản là n x n, hoặc là một chỉ số dưới một chữ số như trong phương trình 1 và 2, mà chúng ta gọi là “n” (vì cả hai kích thước m và n đều bằng nhau đối với ma trận vuông, chỉ cần một trong hai chữ cái làm chỉ số dưới để mô tả cấp của ma trận).
Ví dụ, I2 trong phương trình 2 là ma trận đơn vị có hai hàng và hai cột, đồng thời có hai phần tử trên đường chéo chính. Ký hiệu I3 tương ứng với ma trận đơn vị cấp 3, hoặc ma trận có ba hàng, ba cột và ba phần tử trên đường chéo chính. Hệ thống ký hiệu này tiếp tục như vậy cho bất kỳ chỉ số dưới n nào.
Các Tính Chất Quan Trọng Của Ma Trận Đơn Vị
-
Ma trận đơn vị luôn là ma trận vuông: Như đã thấy trong phương trình 1 và 2, cấp của ma trận đơn vị luôn là n, tương ứng với kích thước n x n (số lượng hàng và cột luôn bằng nhau).
-
Ma trận đơn vị có thể nhân với bất kỳ ma trận nào với mọi cấp (kích thước) miễn là tuân theo các quy tắc sau:
- Nếu trong phép nhân, ma trận đơn vị là thừa số đầu tiên, thì ma trận đơn vị phải có số cột bằng với số hàng của ma trận mà nó nhân.
- Nếu ma trận đơn vị là thừa số thứ hai trong phép nhân, thì ma trận đơn vị phải có số hàng bằng với số cột của ma trận mà nó nhân với nó.
- Từ hai quy tắc trên, nếu ma trận đơn vị nhân với ma trận vuông có cùng kích thước, thì kết quả cũng sẽ là ma trận vuông giống như ma trận không đơn vị trong phép nhân, bất kể thứ tự nhân các ma trận.
-
Tính chất quan trọng nhất của ma trận đơn vị được thể hiện rõ trong các phương trình 3 và 4:
Bất cứ khi nào ma trận đơn vị nhân với một ma trận khác, và phép nhân có thể giải được (tuân theo các quy tắc nhân ma trận), thì kết quả sẽ bằng với ma trận không đơn vị liên quan. Về mặt toán học:
Điều này tương đương với việc nhân một số thực thông thường với 1. Bất kỳ số nào nhân với 1 đều cho kết quả là số đó. Tương tự, một ma trận nhân với ma trận đơn vị sẽ luôn cho kết quả là ma trận ban đầu, do đó ma trận đơn vị còn được gọi là “ma trận đồng nhất”.
-
Nhân một ma trận với ma trận nghịch đảo của nó sẽ tạo ra ma trận đơn vị có cùng cấp với các ma trận được nhân. Về mặt toán học:
Các ma trận tham gia vào phép nhân này được gọi là nghịch đảo nhân của nhau. Giải thích về ma trận nghịch đảo sẽ được đề cập trong các bài học sau, bắt đầu với chủ đề ma trận nghịch đảo của ma trận 2×2. Hiện tại, điều quan trọng là bạn biết đây là một trong những tính chất của ma trận đơn vị mà ta có thể sử dụng để giải các phương trình ma trận.
-
Định thức của ma trận đơn vị In luôn bằng 1, và dấu vết của nó bằng n. Mặc dù khái niệm định thức chưa được đề cập, nhưng điều quan trọng cần biết là định thức của bất kỳ ma trận đơn vị nào bằng 1 vì đường chéo của các ma trận này chỉ chứa các số 1 và các phần tử còn lại bên trong các ma trận này là số 0. Khái niệm định thức sẽ được giới thiệu trong bài học sau về định thức của ma trận 2×2, trong đó định thức của ma trận đơn vị sẽ được giải thích chi tiết hơn. Mặt khác, dấu vết dễ giải thích hơn nhiều. Dấu vết của một ma trận là tổng của các phần tử nằm trên đường chéo chính của nó. Vì ma trận đơn vị có các phần tử trên đường chéo đều bằng 1, nên khi cộng chúng lại để tính dấu vết, bạn sẽ luôn có số lượng phần tử bằng với cấp của ma trận đơn vị, tức là n.
Ví dụ: xét ma trận đơn vị sau:
Phương trình 7 hiển thị ma trận đơn vị 3×3, do đó n=3 cho ma trận này. Vì vậy, dấu vết là tổng của các phần tử trên đường chéo của nó, tức là ba phần tử có giá trị 1 cộng với nhau, và do đó, dấu vết bằng 3. Do đó, dấu vết của ma trận đơn vị bằng n.
-
Ma trận đơn vị có khả nghịch không? Câu trả lời là có. Ma trận nghịch đảo của ma trận đơn vị là chính nó. Ta có thể chứng minh điều này bằng cách nhân chúng với nhau. Theo tính chất thứ tư, nhân một ma trận với ma trận nghịch đảo của nó sẽ tạo ra ma trận đơn vị. Ta đã tính toán phép nhân tương ứng cho trường hợp này (trong phương trình 8) và chứng minh rằng ma trận nghịch đảo của ma trận đơn vị 2×2 là chính nó.
Ví Dụ Về Bài Toán Ma Trận Đơn Vị
Sử dụng các tính chất đã học và định nghĩa ma trận đơn vị đã cho ở đầu bài học, hãy giải các bài toán sau:
Ví dụ 1
Cho các ma trận sau:
Thực hiện các phép toán ma trận sau:
-
I3⋅A
Đây là ví dụ về tính chất thứ ba của ma trận đơn vị: phép nhân có chứa ma trận đơn vị và bất kỳ ma trận nào khác, nếu được xác định theo quy tắc nhân ma trận, thì kết quả là ma trận không đơn vị (trong trường hợp này, ma trận A).
-
2A+4I3
Trong phép toán ma trận này, ta đang tính toán hai trường hợp nhân vô hướng, trường hợp thứ hai bao gồm ma trận đơn vị 3×3.
-
−4B+2I2
Tương tự, phép toán này bao gồm việc sử dụng ma trận đơn vị để cộng hai phép nhân vô hướng, trong đó phép nhân thứ hai bao gồm ma trận đơn vị 2×2.
-
I2⋅B
Theo tính chất thứ ba, kết quả của phép nhân này là ma trận B:
-
0⋅I4
Trong trường hợp này, ta có phép nhân vô hướng của ma trận đơn vị với số 0, do đó, kết quả phải là ma trận không.
Ví dụ 2
Kiểm tra xem các ma trận sau có phải là nghịch đảo nhân của nhau hay không:
-
Cho ma trận X và Y như sau:
Ta thực hiện phép nhân ma trận X ⋅ Y:
Vì kết quả là ma trận đơn vị, nên X và Y là nghịch đảo nhân của nhau.
-
Cho ma trận A và B như sau:
Ta thực hiện phép nhân ma trận A ⋅ B:
Như vậy, A và B là nghịch đảo nhân của nhau.
-
Cho ma trận C và D như sau:
Ta thực hiện phép nhân ma trận C ⋅ D:
Mặc dù rất giống nhau, nhưng ma trận kết quả từ phép toán trên không phải là ma trận đơn vị. Do đó, C và D KHÔNG phải là nghịch đảo nhân của nhau.
-
Cho ma trận E và F như sau:
Ta thực hiện phép nhân ma trận E ⋅ F:
Vậy, E và F là nghịch đảo nhân của nhau.
Kết Luận
Bài viết này đã cung cấp kiến thức về ma trận đơn vị và các tính chất của nó. Trong các bài học sau, ma trận đơn vị có thể được gọi là ma trận đồng nhất để đơn giản. Hãy tiếp tục theo dõi và khám phá thêm những điều thú vị về đại số tuyến tính!