Trong chương trình toán học của kỳ thi THPT Quốc Gia, phần kiến thức về khối đa diện chiếm một vị trí quan trọng. Nhằm giúp các bạn học sinh ôn tập và nắm vững kiến thức này, bài viết này của Sen Tây Hồ xin tổng hợp đầy đủ và chi tiết các công thức hình học 12 liên quan đến khối đa diện.
Bài viết này không chỉ hệ thống lại các định nghĩa cơ bản mà còn cung cấp các công thức tính nhanh toán 12 giúp giải quyết các bài toán thể tích một cách hiệu quả. Hãy cùng khám phá những nội dung quan trọng sau đây:
Mục Lục
I. Tổng Quan Các Khái Niệm Quan Trọng Về Khối Đa Diện
1. Định Nghĩa Hình Đa Diện
Hình đa diện là một hình được tạo thành từ một số hữu hạn các đa giác phẳng, thỏa mãn các tính chất sau:
- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc có điểm chung là đỉnh hoặc cạnh chung.
- Mỗi cạnh của bất kỳ đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi hình đa diện, bao gồm cả hình đa diện đó.
Tùy thuộc vào hình dạng giới hạn, ta có khối lăng trụ (giới hạn bởi hình lăng trụ), khối chóp (giới hạn bởi hình chóp),…
Trong quá trình tính toán, chúng ta thường gặp khối đa diện lồi: đây là khối đa diện (H) mà khi nối hai điểm bất kỳ thuộc (H), đoạn thẳng nối hai điểm đó cũng thuộc (H).
Đối với đa diện lồi, công thức Euler liên hệ giữa số đỉnh (D), số cạnh (C) và số mặt (M) như sau: D – C + M = 2.
Khối đa diện đều loại {m;n} là khối đa diện lồi, trong đó:
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng m mặt.
- Mỗi mặt là một đa giác đều n cạnh.
- Nếu khối đa diện đều loại {m;n} có D đỉnh, C cạnh và M mặt thì: nD = 2C = mM
Các Khối Đa Diện Lồi Thường Gặp:
Ví dụ về khối đa diện:
Ví dụ về hình không phải đa diện:
2. Phân Chia và Lắp Ghép Khối Đa Diện
- Điểm ngoài: Điểm không thuộc khối đa diện.
- Miền ngoài: Tập hợp các điểm ngoài.
- Điểm trong: Điểm thuộc khối đa diện nhưng không nằm trên hình đa diện bao ngoài.
- Miền trong: Tập hợp các điểm trong.
Khối đa diện (H) được gọi là hợp của hai khối đa diện (H1) và (H2) nếu (H1) và (H2) không có điểm chung trong. Khi đó, ta nói (H) có thể chia thành hai khối (H1) và (H2), hoặc ghép hai khối (H1) và (H2) để được (H).
Ví dụ: Khi cắt lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng mặt phẳng (A’BC), ta thu được hai khối đa diện mới là A’ABC và A’BCC’B’.
3. Các Kết Quả Quan Trọng Cần Lưu Ý
-
KQ1: Trong một khối tứ diện đều:
- Trọng tâm của các mặt là đỉnh của một khối tứ diện đều khác.
- Trung điểm của các cạnh là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).
-
KQ2: Tâm của các mặt của một khối lập phương tạo thành một khối bát diện đều.
-
KQ3: Tâm của các mặt của một khối bát diện đều tạo thành một khối lập phương.
-
KQ4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:
- Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.
- Ba đường chéo bằng nhau.
-
KQ5: Một khối đa diện phải có tối thiểu 4 mặt.
-
KQ6: Hình đa diện có tối thiểu 6 cạnh.
-
KQ7: Không tồn tại đa diện có 7 cạnh.
II. Tổng Hợp Công Thức Tính Thể Tích Khối Đa Diện Dành Cho Học Sinh Lớp 12
1. Thể Tích Khối Chóp
Công thức tính thể tích khối chóp:
V = (1/3) B h
Trong đó:
- V: Thể tích khối chóp
- B: Diện tích đáy của khối chóp
- h: Chiều cao của khối chóp (khoảng cách từ đỉnh chóp đến mặt đáy)
2. Thể Tích Khối Lăng Trụ
Công thức tính thể tích khối lăng trụ:
V = B * h
Trong đó:
- V: Thể tích khối lăng trụ
- B: Diện tích đáy của khối lăng trụ
- h: Chiều cao của khối lăng trụ (khoảng cách giữa hai mặt đáy)
3. Thể Tích Khối Hộp Chữ Nhật
Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a b c
Trong đó:
- V: Thể tích khối hộp chữ nhật
- a, b, c: Độ dài ba cạnh của khối hộp chữ nhật
Lưu ý: Hình lập phương là một trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật, trong đó ba cạnh có độ dài bằng nhau (a = b = c). Do đó, thể tích hình lập phương là V = a3.
4. Công Thức Tỉ Số Thể Tích
Cho khối chóp tam giác S.ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SA, SB, SC. Khi đó, ta có công thức tỉ số thể tích:
VS.A’B’C’ / VS.ABC = (SA’/SA) (SB’/SB) (SC’/SC)
Lưu ý quan trọng: Công thức này chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác. Đối với khối chóp tứ giác, cần chia nhỏ thành hai khối chóp tam giác để áp dụng công thức.
5. Công Thức Tính Nhanh Một Số Đường Đặc Biệt
-
Đường chéo của hình lập phương cạnh a có độ dài là: a√3
-
Trong hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh là a, b, c, độ dài đường chéo là: √(a2 + b2 + c2)
-
Đường cao của tam giác đều cạnh a là: (a√3)/2
Ngoài ra, để tính thể tích khối đa diện, cần nắm vững các công thức tính diện tích hình phẳng sau:
-
Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH: 1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2
-
Công thức tính diện tích tam giác ABC khi biết độ dài ba cạnh a, b, c (công thức Heron):
p = (a + b + c) / 2 (nửa chu vi)
S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)]
6. Công Thức Tính Nhanh Thể Tích Khối Đa Diện Thường Gặp
(Phần này cần bổ sung thêm các công thức cụ thể để tăng tính ứng dụng)
7. Công Thức Đặc Biệt Về Tứ Diện
(Phần này cần bổ sung thêm các công thức cụ thể để tăng tính ứng dụng)
Hy vọng rằng, với những tổng hợp chi tiết về công thức hình học 12 liên quan đến thể tích khối đa diện, các bạn học sinh sẽ có một tài liệu hữu ích để ôn tập và củng cố kiến thức, từ đó đạt được kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT Quốc Gia. Chúc các bạn thành công!