Trong đại số tuyến tính, hạng của ma trận là một khái niệm quan trọng, cho biết số chiều của không gian vectơ được sinh bởi các cột (hoặc hàng) của ma trận đó. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết định nghĩa, cách tìm hạng của ma trận, các phép biến đổi sơ cấp, cũng như các ứng dụng của nó trong việc xét tính độc lập tuyến tính và tìm cơ sở của không gian vectơ.
Mục Lục
Định nghĩa hạng của ma trận
Cho A là một ma trận. Ma trận có được từ A bằng cách xóa đi một số dòng và một số cột được gọi là ma trận con của A. Định thức của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A.
Hạng của ma trận A, ký hiệu là R(A), là số r lớn nhất sao cho tồn tại một định thức con cấp r khác 0, trong khi mọi định thức con cấp s (s > r) đều bằng 0.
Nói một cách đơn giản, hạng của ma trận là cấp cao nhất của một ma trận con vuông có định thức khác 0.
Ví dụ 1:
Cho ma trận (A = begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 end{pmatrix}).
Tính định thức của A: (|A| = 1 ≠ 0). Do đó, R(A) = 3.
Ví dụ 2:
Cho ma trận (A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{pmatrix}).
Tính định thức của A: (|A| = 0). Xét định thức con cấp 2: (|begin{pmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{pmatrix}| = -3 ≠ 0). Do đó, R(A) = 2.
Các hệ quả quan trọng
- (R(A_{m times n}) leq min{m, n})- Hạng của ma trận không vượt quá số dòng hoặc số cột của nó.
- (R(A) = R(A^T))- Hạng của ma trận bằng hạng của ma trận chuyển vị của nó.
- (R(A{n times n}) = n Leftrightarrow |A{n times n}| neq 0)- Ma trận vuông cấp n có hạng bằng n khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.
Liên hệ giữa hạng và hệ vectơ
R(A) = hạng của hệ vectơ dòng của A = hạng của hệ vectơ cột của A. Điều này có nghĩa là hạng của ma trận cho biết số lượng vectơ dòng hoặc vectơ cột độc lập tuyến tính tối đa trong ma trận đó.
Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang thu gọn
Để tìm hạng của ma trận một cách hiệu quả, chúng ta thường đưa ma trận về dạng bậc thang hoặc bậc thang thu gọn.
Định nghĩa
- Dòng tầm thường: Là dòng gồm toàn số 0.
- Phần tử dẫn đầu: Là phần tử khác 0 đầu tiên (từ trái sang phải) của một dòng không tầm thường.
- Bậc của dòng: Là vị trí của phần tử dẫn đầu trong dòng (tính từ trái sang phải).
Ví dụ: Xét ma trận (A = begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 0 & -3 & 0 & 2 1 & 2 & -3 & 1 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix}).
- Dòng 1 là dòng không tầm thường bậc 1.
- Dòng 2 là dòng không tầm thường bậc 2.
- Dòng 3 là dòng không tầm thường bậc 1.
- Dòng 4 là dòng tầm thường.
Ma trận bậc thang
Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu:
- Các dòng tầm thường (nếu có) nằm ở dưới đáy.
- Các dòng không tầm thường có bậc tăng dần.
Ví dụ: (A = begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 0 & -3 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix}) là một ma trận bậc thang.
Ma trận bậc thang thu gọn
Ma trận bậc thang thu gọn là ma trận bậc thang có thêm các tính chất:
- Các phần tử dẫn đầu (gọi là phần tử trụ) đều là số 1.
- Các phần tử ở trên và cùng cột với phần tử trụ đều là số 0.
Ví dụ: (A = begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 4 0 & 1 & 2 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & 2 end{pmatrix}) là một ma trận bậc thang thu gọn.
Tính hạng của ma trận bậc thang
Cho A là một ma trận bậc thang. Khi đó: R(A) = số dòng không tầm thường của ma trận A.
Ví dụ: Xét (A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 2 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix}). Vì A có dạng bậc thang và có 2 dòng không tầm thường nên R(A) = 2.
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Các phép biến đổi sau đây trên ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng:
- Đổi chỗ hai dòng.
- Nhân một dòng với một số khác 0.
- Cộng vào một dòng một bội của một dòng khác.
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta có thể đưa một ma trận về dạng bậc thang hay dạng bậc thang thu gọn.
Thuật toán đưa ma trận về dạng bậc thang
- Bước 1: Tìm cột không tầm thường đầu tiên (từ trái sang phải). Giả sử cột đó là cột j.
- Bước 2: Đổi chỗ các dòng sao cho một phần tử khác 0 của cột j đứng vào dòng 1, nghĩa là (a_{1j} neq 0).
- Bước 3: Dùng (a{1j} neq 0) làm phần tử trụ, đưa các số khác 0 cùng cột và đứng dưới (a{1j}) về 0 bằng các phép biến đổi sơ cấp (di leftarrow a{1j}di – a{ij}d_1).
- Bước 4: Lặp lại các bước trên với ma trận con bằng cách bỏ dòng 1.
- Bước 5: Lặp lại các bước trên cho đến khi có được dạng bậc thang.
Ví dụ: Đưa ma trận sau đây về dạng bậc thang
(A = begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 0 2 & 4 & -2 & 2 3 & 6 & -4 & 3 end{pmatrix})
Giải:
Alt text: Ma trận A với các phần tử được sắp xếp ban đầu, chuẩn bị cho quá trình biến đổi sơ cấp để đưa về dạng bậc thang.
Alt text: Ma trận A sau khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đã được đưa về dạng bậc thang.
Ma trận trên đã có dạng bậc thang.
Thuật toán đưa ma trận bậc thang về dạng bậc thang thu gọn
Cho (A = (a{ij})) là ma trận có dạng bậc thang với các phần tử dẫn đầu lần lượt là (a{1j1}, a{2j2},…, a{rj_r}).
- Bước 1: Nhân dòng r với (frac{1}{a_{rj_r}}) để có phần tử dẫn đầu của dòng r là 1.
- Bước 2: Dùng phần tử (a_{rj_r} = 1) làm phần tử trụ, đưa các phần tử cùng cột và ở trên a về số 0 bằng phép biến đổi sơ cấp (d_i leftarrow di – a{rj_r}d_r).
- Bước 3: Lặp lại các bước trên đối với các dòng r-1, r-2,…,2.
- Bước 4: Nhân dòng 1 với (frac{1}{a_{1j_1}}).
Để đưa về dạng bậc thang thu gọn, ta có thể áp dụng hai thuật toán nêu trên, đưa ma trận về dạng bậc thang rồi đưa về dạng bậc thang thu gọn. Ngoài ra, ta có thể áp dụng thuật toán đưa ma trận về dạng bậc thang có sửa đổi một chút:
Ở bước 3, thay vì chỉ đưa các số khác 0 đứng dưới và cùng cột với phân tử dẫn đầu về số 0, thì ta đưa cả các số khác 0 đứng trên và cùng cột với phần tử dẫn đầu về số 0.
Cuối cùng, khi đã có được dạng bậc thang, ta chia các dòng tầm thường cho phần tử dẫn đầu của chúng để đưa các phần tử dẫn đầu về số 1.
Ví dụ: Đưa ma trận sau đây về dạng bậc thang thu gọn
(A = begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 3 1 & -4 & 2 & 3 3 & 0 & 1 & 2 end{pmatrix})
Giải:
Alt text: Ma trận A trước khi thực hiện bất kỳ phép biến đổi nào, sẵn sàng cho quá trình đưa về dạng bậc thang thu gọn.
Alt text: Ma trận A sau một vài bước biến đổi sơ cấp trên dòng, cho thấy quá trình tiến gần hơn đến dạng bậc thang thu gọn.
Alt text: Ma trận A sau khi hoàn thành các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đã được đưa về dạng bậc thang thu gọn hoàn chỉnh.
Ma trận trên đã có dạng bậc thang thu gọn.
Lưu ý quan trọng: Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của một ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận (A = begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 0 2 & 4 & -2 & 2 3 & 6 & -4 & 3 end{pmatrix}).
Ta có:
Alt text: Các bước biến đổi sơ cấp được áp dụng cho ma trận A để đơn giản hóa và xác định hạng của nó.
Alt text: Ma trận B, kết quả của các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A, cho phép xác định hạng của ma trận một cách dễ dàng hơn.
Vì R(B) = 2 nên R(A) = 2.
Ứng dụng của hạng ma trận
Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hệ vectơ
Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính (hoặc phụ thuộc tuyến tính) của một hệ n vectơ, ta có thể sắp các vectơ ấy thành các dòng của một ma trận A, rồi tìm hạng của A.
- Nếu R(A) = n: hệ đó là một hệ độc lập tuyến tính.
- Nếu R(A) < n: hệ đó là một hệ phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ: Xét tính độc lập tuyến tính của hệ vectơ sau đây: V = {(1,2,0,3), (2,1,-4,0), (-2,0,1,1)}
Giải:
Ta lập ma trận:
Alt text: Ma trận A được xây dựng từ các vectơ của hệ V, sử dụng để kiểm tra tính độc lập tuyến tính.
Suy ra: R(A) = 3. Vậy, V độc lập tuyến tính.
Tìm cơ sở và số chiều của không gian vectơ con
Để tìm một cơ sở và số chiều của không gian vectơ con sinh bởi một hệ vectơ, ta lập ma trận A gồm các dòng là các vectơ đó, rồi đưa A về dạng bậc thang. Các dòng không tầm thường của A tạo thành một cơ sở của không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ đó, và số dòng không tầm thường tối đa của A ở dạng bậc thang là số chiều của không gian sinh.
Ví dụ: Tìm một cơ sở và số chiều của không gian (langle V rangle) với V = {(1,-2,5,4), (2,-2,1,0), (3,4,0,2)}
Giải: Ta lập ma trận:
Alt text: Ma trận A được xây dựng từ các vectơ của không gian V, sử dụng để tìm cơ sở và số chiều.
Suy ra: R(A) = 3, nên (dim langle V rangle = 3).
Và một cơ sở của (langle V rangle) là {(1;-2;5;4),(0;2;-9;-8),(0;0;1;1)}.
Kết luận
Hạng của ma trận là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong đại số tuyến tính. Việc hiểu rõ định nghĩa, cách tính và ứng dụng của hạng ma trận giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ và các vấn đề khác trong toán học và khoa học kỹ thuật.