Hàm số chẵn, hàm số lẻ là kiến thức nền tảng trong chương trình Đại số lớp 10, có ứng dụng quan trọng trong giải toán, đặc biệt là các bài toán hàm số ở lớp 12. Bài viết này sẽ cung cấp cái nhìn sâu sắc về tính chất của hàm số chẵn lẻ, giúp học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia giải quyết các bài toán hàm số một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Về mặt trực quan, hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, trong khi hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Do đó, tập xác định của chúng phải đối xứng qua điểm x = 0, nghĩa là với mọi x thuộc tập xác định, -x cũng phải thuộc tập xác định. Ví dụ: Tập số (-1; 1) đối xứng qua điểm x = 0, còn tập số [-1; 1) thì không.
Mục Lục
Định Nghĩa Hàm Số Chẵn và Hàm Số Lẻ
a. Hàm số chẵn là gì?
Hàm số chẵn là hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung. Điều này có nghĩa là nếu một điểm (x; f(x)) thuộc đồ thị, thì điểm (-x; f(-x)) cũng phải thuộc đồ thị, và f(-x) = f(x).
Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) xác định trên D là hàm số chẵn là:
∀x∈D thì −x∈D và ∀x∈D thì f(−x)=f(x)
b. Hàm số lẻ là gì?
Hàm số lẻ là hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Nếu điểm (x; f(x)) thuộc đồ thị, thì điểm (-x; f(-x)) cũng phải thuộc đồ thị và đối xứng với điểm ban đầu qua gốc tọa độ.
Từ đó suy ra f(-x) = -f(x).
Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) xác định trên D là hàm số lẻ là:
∀x∈D thì −x∈D và ∀x∈D thì f(−x)=−f(x)
Hàm số không chẵn không lẻ là gì?
Trong toán học, không phải hàm số nào cũng “hoàn hảo” thuộc một trong hai loại trên. Có những hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ. Ví dụ như y = x² + x, y = tan(x – 1),…
Lưu ý quan trọng: Hàm số vừa chẵn vừa lẻ chỉ có thể là hàm số y = 0.
Cách Xác Định Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số
Dưới đây là một số phương pháp giúp xác định tính chẵn lẻ của hàm số một cách nhanh chóng:
a. Nhận biết các hàm số chẵn lẻ thường gặp
Việc ghi nhớ các hàm số chẵn lẻ cơ bản giúp ích rất nhiều trong quá trình giải toán:
- y = ax + b là hàm số lẻ khi và chỉ khi b = 0.
- y = ax² + bx + c là hàm số chẵn khi và chỉ khi b = 0.
- y = ax³ + bx² + cx + d là hàm số lẻ khi và chỉ khi b = d = 0.
- Hàm trùng phương bậc bốn (y = ax⁴ + bx² + c) là hàm số chẵn.
- y = sinx, y = tanx, y = cotx là các hàm số lẻ.
- y = cosx là hàm số chẵn.
- Hàm số y = f(|x|) là hàm số chẵn.
- Nếu f(x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên tập xác định, thì f'(x) là hàm lẻ.
- Nếu f(x) là hàm số lẻ và có đạo hàm trên tập xác định, thì f'(x) là hàm chẵn.
- Hàm số đa thức bậc chẵn không thể là hàm số lẻ.
- Hàm số đa thức bậc lẻ không thể là hàm số chẵn.
b. Nhận dạng dựa vào đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. Việc quan sát đồ thị giúp nhận biết tính chẵn lẻ một cách trực quan.
c. Sử dụng định nghĩa
Đây là phương pháp thường được sử dụng trong chương trình lớp 10.
Để sử dụng định nghĩa, ta thực hiện hai bước:
- Kiểm tra xem tập xác định của hàm số có đối xứng qua gốc tọa độ hay không. Nếu không, kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Nếu có, chuyển sang bước tiếp theo.
- Tính f(-x) và so sánh với f(x).
- Nếu f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định, kết luận hàm số chẵn.
- Nếu f(-x) = -f(x) với mọi x thuộc tập xác định, kết luận hàm số lẻ.
- Nếu không thỏa mãn cả hai điều kiện trên, tìm một giá trị x sao cho f(x) và f(-x) không bằng nhau và không đối nhau, kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Ví dụ: Chứng minh rằng hàm số f(x) = x³ + x là hàm số lẻ.
Lời giải:
Tập xác định: R (tập số thực)
Với mọi số thực x, ta có: f(−x) = (−x)³ + (−x) = −(x³ + x) = −f(x).
Vậy hàm số f(x) = x³ + x là hàm số lẻ.
d. Sử dụng máy tính Casio để xác định tính chẵn lẻ
Máy tính Casio có thể hỗ trợ xét tính chẵn lẻ dựa trên việc so sánh giá trị f(x) và f(-x). Sử dụng chức năng Table (MODE 7) với hai hàm số f(x) và g(x) = f(-x).
Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = x³ + 2x² – 3
Giải:
- Bấm MODE 7 để vào chức năng Table.
- Nhập hàm số f(x) = x³ + 2x² – 3.
Alt text: Hình ảnh minh họa việc nhập hàm số f(x) = x³ + 2x² – 3 vào máy tính Casio để xét tính chẵn lẻ.
- Nhập hàm số g(x) = f(-x) = (-x)³ + 2(-x)² – 3.
Alt text: Hình ảnh minh họa việc nhập hàm số g(x) = f(-x) = (-x)³ + 2(-x)² – 3 vào máy tính Casio để xét tính chẵn lẻ.
- Đặt START, END, STEP mặc định (hoặc tùy chỉnh).
- Dò hai cột giá trị F(X) và G(X). Nếu tồn tại một giá trị x mà f(x) và f(-x) không bằng nhau và không đối nhau, thì hàm số không chẵn không lẻ.
Alt text: Bảng giá trị F(X) và G(X) trên máy tính Casio cho thấy hàm số không chẵn không lẻ.
Trong ví dụ này, tại x = 1, f(1) = 0 và f(-1) = -4, do đó hàm số không chẵn không lẻ.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ mang tính chất ước lượng và không thay thế cho việc chứng minh bằng định nghĩa. Tuy nhiên, nó rất hữu ích trong việc giải nhanh các bài toán trắc nghiệm.
Ứng Dụng Tính Chẵn Lẻ vào Giải Toán THPT Quốc Gia
Nhiều bài toán lớp 12 có thể được giải quyết nhanh chóng hơn bằng cách khai thác tính chẵn lẻ của hàm số.
Ví dụ: Cho hàm số f(x) liên tục trên R, f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số f(|x|)+2020 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Đồ thị hàm số f'(x)
A. (−∞;−2).
B. (-2;0).
C. (−2;2)
D. (0;+∞).
Lời giải:
Vì f'(x) là hàm lẻ nên f(x) là hàm chẵn.
Sự biến thiên của f(|x|)+2020 tương tự như hàm số f(|x|). Do f(x) chẵn nên f(|x|) đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Vậy ta chọn phương án D.
Bài Tập Tự Luyện
Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y=sin(x+1).
B. y=−4x³+3x²+2x-5.
C. y=2|x|³+2x²+|x|-4.
D. y=x²+3.
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
y=x²+2(m²-4)x+3m-2
là hàm số chẵn?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=2x³-2(m²-1)x²+4x+m-1 là hàm số lẻ. Số phần tử của S là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 4: Cho f(x) là hàm số chẵn có bảng biến thiên như hình vẽ
Giá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f(|x|) trên đoạn [-1;2] là
A. 1.
B. 2.
C. −1.
D. 0.
Câu 5: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R có 5 điểm cực trị dương và f'(0)≠0. Số cực trị của hàm số f(|x|) là
A. 5.
B. 10.
C. 11.
D. 12.
Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia!