Trong đại số tuyến tính, giá trị riêng và vectơ riêng là hai khái niệm cốt lõi, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích các phép biến đổi tuyến tính. Chúng đặc biệt hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến ma trận và hệ phương trình tuyến tính. Giá trị riêng (eigenvalue) là một số vô hướng đặc biệt liên kết với một hệ phương trình tuyến tính, trong khi vectơ riêng (eigenvector) là một vectơ mà hướng của nó không thay đổi khi áp dụng một phép biến đổi tuyến tính.
Mục Lục
Định nghĩa giá trị riêng (Eigenvalue)
Giá trị riêng là một tập hợp các giá trị vô hướng đặc biệt, thường được ký hiệu bằng λ (lambda), liên kết với một hệ phương trình tuyến tính. Thuật ngữ “eigen” có nguồn gốc từ tiếng Đức, mang ý nghĩa “đặc trưng” hoặc “riêng”. Do đó, giá trị riêng còn được gọi là giá trị đặc trưng, nghiệm đặc trưng, giá trị thích hợp hoặc nghiệm ẩn.
Về bản chất, giá trị riêng là một đại lượng vô hướng được sử dụng để biến đổi một vectơ riêng. Phương trình cơ bản thể hiện mối quan hệ này là:
Ax = λx
Trong đó:
- A là một ma trận vuông
- x là vectơ riêng (khác vectơ 0)
- λ là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng x
Phương trình trên cho thấy khi nhân ma trận A với vectơ x, kết quả thu được là một vectơ mới cùng phương với x, chỉ khác về độ dài (độ dài được nhân lên hoặc chia cho λ).
Ví dụ về Eigenvalue
Trong hình ảnh này, mũi tên màu hồng là một vectơ riêng vì nó không thay đổi hướng sau phép biến đổi. Giá trị riêng của nó là 1, cho thấy chiều dài của mũi tên không đổi.
Vectơ riêng (Eigenvector) là gì?
Vectơ riêng là các vectơ khác không mà hướng của chúng không thay đổi khi áp dụng một phép biến đổi tuyến tính. Nói cách khác, khi một phép biến đổi tuyến tính A được áp dụng cho một vectơ riêng x, vectơ kết quả A(x) cùng phương với x, chỉ khác nhau về độ dài.
Nếu A là một phép biến đổi tuyến tính từ không gian vectơ V và x là một vectơ trong V (không phải vectơ 0), thì x là một vectơ riêng của A nếu A(x) là một bội số vô hướng của x.
Không gian riêng (Eigenspace) của vectơ x bao gồm tập hợp tất cả các vectơ riêng có cùng giá trị riêng, kết hợp với vectơ 0. Tuy nhiên, bản thân vectơ 0 không được coi là một vectơ riêng.
Giả sử A là một ma trận vuông kích thước n x n và λ là một giá trị riêng của A. Khi đó, x (một vectơ khác 0) được gọi là vectơ riêng nếu nó thỏa mãn biểu thức:
Ax = λx
Trong đó, x là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ.
Lưu ý quan trọng:
- Với mỗi giá trị riêng, có thể có vô số vectơ riêng tương ứng.
- Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là độc lập tuyến tính.
Giá trị riêng của ma trận vuông
Giả sử A là một ma trận vuông kích thước n x n. Khi đó, biểu thức [A – λI] được gọi là ma trận riêng (eigenmatrix) hoặc ma trận đặc trưng, trong đó λ là một đại lượng vô hướng chưa xác định và I là ma trận đơn vị.
Định thức của ma trận riêng có thể được viết là |A – λI|, và phương trình |A – λI| = 0 được gọi là phương trình đặc trưng (characteristic equation). Nghiệm của phương trình đặc trưng chính là các giá trị riêng của ma trận A.
Giá trị riêng của ma trận tam giác và ma trận đường chéo tương ứng với các phần tử nằm trên đường chéo chính. Tuy nhiên, giá trị riêng của ma trận vô hướng chỉ là giá trị vô hướng đó.
Tính chất của giá trị riêng
- Tính độc lập tuyến tính: Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là độc lập tuyến tính.
- Ma trận suy biến: Một ma trận suy biến (singular matrix) có ít nhất một giá trị riêng bằng 0.
- Giá trị riêng bằng 0: Nếu A là ma trận vuông, λ = 0 không phải là giá trị riêng của A.
- Bội vô hướng của ma trận: Nếu λ là giá trị riêng của ma trận A, thì aλ là giá trị riêng của ma trận aA (với a là một hằng số).
- Lũy thừa của ma trận: Nếu λ là giá trị riêng của ma trận A, thì λn là giá trị riêng của ma trận An (với n là một số nguyên không âm).
- Đa thức của ma trận: Nếu λ là giá trị riêng của ma trận A và p(x) là một đa thức, thì p(λ) là giá trị riêng của ma trận p(A).
- Ma trận nghịch đảo: Nếu λ là giá trị riêng của ma trận A và A khả nghịch, thì λ-1 là giá trị riêng của ma trận A-1.
- Ma trận chuyển vị: Nếu λ là giá trị riêng của ma trận A, thì λ cũng là giá trị riêng của ma trận chuyển vị At.
Ví dụ minh họa
Xét bài toán tìm giá trị riêng của ma trận 2×2 sau:
A = [0 3; -2 4]
Để tìm giá trị riêng, ta sử dụng phương trình đặc trưng:
|A – λI| = 0
Thay ma trận A và ma trận đơn vị I vào, ta có:
|[0 3; -2 4] – λ[1 0; 0 1]| = 0
|[-λ 3; -2 4-λ]| = 0
Tính định thức:
(-λ)(4 – λ) – (3)(-2) = 0
-4λ + λ2 + 6 = 0
λ2 – 4λ + 6 = 0
Giải phương trình bậc hai trên, ta tìm được hai giá trị riêng:
λ1 = 0
λ2 = 4
Tìm giá trị riêng của ma trận 3×3
Ví dụ:
Tìm giá trị riêng cho ma trận sau:
A = [4 6 10; 3 -6 13; -2 -6 -8]
Giải pháp:
Để tìm các giá trị riêng (λi), ta cần tìm nghiệm của phương trình det(A – λI) = 0, trong đó I là ma trận đơn vị.
det(A – λI) = det([4-λ 6 10; 3 -6-λ 13; -2 -6 -8-λ])
= (4 – λ) * det([-6-λ 13; -6 -8-λ]) – 6 * det([3 13; -2 -8-λ]) + 10 * det([3 -6-λ; -2 -6])
Tính các định thức con:
- det([-6-λ 13; -6 -8-λ]) = (-6-λ)(-8-λ) – (13)(-6) = λ2 + 14λ + 48 + 78 = λ2 + 14λ + 126
- det([3 13; -2 -8-λ]) = 3(-8-λ) – (13)(-2) = -24 – 3λ + 26 = 2 – 3λ
- det([3 -6-λ; -2 -6]) = 3(-6) – (-6-λ)(-2) = -18 – 12 – 2λ = -30 – 2λ
Thay các giá trị này vào biểu thức ban đầu:
det(A – λI) = (4 – λ)(λ2 + 14λ + 126) – 6(2 – 3λ) + 10(-30 – 2λ)
= 4λ2 + 56λ + 504 – λ3 – 14λ2 – 126λ – 12 + 18λ – 300 – 20λ
= -λ3 – 10λ2 + (-126 + 56 + 18 – 20)λ + (504 – 12 – 300)
= -λ3 – 10λ2 – 72λ + 192
Để tìm giá trị riêng, giải phương trình:
-λ3 – 10λ2 – 72λ + 192 = 0
Sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc 3 (ví dụ: sử dụng máy tính hoặc phần mềm), ta tìm được các nghiệm:
λ1 = 2
λ2 = -4
λ3 = -24
Vậy, các giá trị riêng của ma trận A là 2, -4 và -24.
Bài tập thực hành
Tìm giá trị riêng cho các ma trận sau:
- A = [2 1 3; 1 2 3; 3 3 20]
- A =