Đường phân giác là một khái niệm quen thuộc trong hình học. Vậy đường phân giác trong tam giác là gì? Tính chất của đường phân giác trong tam giác được ứng dụng như thế nào? Hãy cùng Sen Tây Hồ khám phá chi tiết qua bài viết dưới đây.
Mục Lục
Định Nghĩa Đường Phân Giác Trong Tam Giác
Đường phân giác của một góc trong tam giác là đường thẳng xuất phát từ đỉnh của góc đó và chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Mỗi tam giác có ba đường phân giác, và ba đường này đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này cách đều ba cạnh của tam giác và được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ, trong tam giác ABC, AH, CP, BK là ba đường phân giác xuất phát từ các đỉnh A, B, C và chúng giao nhau tại điểm O.
Ba đường phân giác AH, CP, BK giao nhau tại điểm O trong tam giác ABC
Trường hợp đặc biệt: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường trung tuyến, đường trung trực và đường cao của tam giác đó.
Định Lý Về Tính Chất Đường Phân Giác Trong Tam Giác
Định lý phát biểu rằng: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn thẳng đó. Đây là một trong những tính chất quan trọng nhất của đường phân giác và được ứng dụng rộng rãi trong giải toán hình học.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác của góc A, với D nằm trên cạnh BC. Theo định lý, ta có tỉ lệ thức sau:
AB/AC = DB/DC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AD và AE lần lượt là đường phân giác trong và đường phân giác ngoài tại đỉnh A. Khi đó, ta có các tỉ lệ thức sau:
DB/DC = AB/AC và EB/EC = AB/AC
Minh họa đường phân giác trong AD và đường phân giác ngoài AE của tam giác ABC
Các Lưu Ý Quan Trọng Về Đường Phân Giác
Khi làm việc với đường phân giác trong tam giác, cần lưu ý một số điểm sau:
- Định lý vẫn đúng với đường phân giác góc ngoài: Định lý về đường phân giác vẫn áp dụng cho cả đường phân giác của góc ngoài tam giác.
- Vẽ hình chính xác: Việc vẽ hình chính xác là rất quan trọng, đặc biệt là khi vẽ đường phân giác. Nên sử dụng thước và compa để đảm bảo tính chính xác.
- Tính đồng quy: Ba đường phân giác trong tam giác đồng quy tại một điểm, do đó cần lưu ý khi vẽ để đảm bảo chúng giao nhau tại một điểm duy nhất.
Ví dụ: AE’ là phân giác của góc BAx (với AB ≠ AC). Ta có: AB/AC = E’B/E’C hay E’B/AB = E’C/AC.
Minh họa đường phân giác góc ngoài AE' của tam giác ABC
Bài Tập Vận Dụng Về Tính Chất Đường Phân Giác
Để hiểu rõ hơn về các tính chất đã học, chúng ta sẽ cùng nhau giải một số bài tập áp dụng sau đây:
Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a) AE/ED = BF/FC
b) AE/AD = BF/BC
c) DE/DA = CF/CB
Lời giải:
Hình thang ABCD với đường thẳng a song song với DC
Áp dụng định lý Ta-lét, ta có:
a) Vì a // CD // AB nên theo định lý Ta-lét, AE/ED = BF/FC.
b) Vì a // CD // AB nên theo định lý Ta-lét, AE/AD = BF/BC.
c) Vì a // CD // AB nên theo định lý Ta-lét, DE/DA = CF/CB.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại E. Tính độ dài các đoạn EB, EC.
Lời giải:
Tam giác ABC với đường phân giác AE
Vì AE là đường phân giác của góc BAC trong tam giác ABC, ta có:
EB/EC = AB/AC = 5/6.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
EB/5 = EC/6 = (EB + EC)/(5 + 6) = 7/11
Từ đó suy ra:
EB = 5 * (7/11) = 35/11 (cm)
EC = 6 * (7/11) = 42/11 (cm)
Bài 3: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC.
Lời giải:
Tam giác ABC với trung tuyến AM và các đường phân giác
Vì MD là đường phân giác của góc AMB trong tam giác ABM, ta có:
AD/BD = AM/BM (1)
Vì ME là đường phân giác của góc AMC trong tam giác ACM, ta có:
AE/CE = AM/MC (2)
Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên MB = MC, do đó:
AM/BM = AM/MC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD/BD = AE/CE. Theo định lý Ta-lét đảo, ta có DE // BC.
Kết Luận
Bài viết trên đã trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất và các bài tập áp dụng liên quan đến đường phân giác trong tam giác. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, bạn đọc có thể hiểu rõ hơn về một trong những khái niệm quan trọng của hình học. Hãy tiếp tục theo dõi Sen Tây Hồ để cập nhật thêm nhiều thông tin hữu ích khác!