Trong đại số tuyến tính, định thức là một hàm số đặc biệt, gán cho mỗi ma trận vuông A một giá trị vô hướng, thường được ký hiệu là det(A). Về mặt hình học, định thức biểu thị tỷ lệ thay đổi thể tích khi A được xem như một phép biến đổi tuyến tính. Định thức đóng vai trò quan trọng trong việc giải và biện luận các hệ phương trình đại số tuyến tính, cũng như nhiều ứng dụng khác trong toán học và khoa học kỹ thuật.
Điều quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ được định nghĩa cho các ma trận vuông. Một ma trận có định thức bằng 0 được gọi là ma trận suy biến (singular matrix), trong khi ma trận có định thức bằng 1 được gọi là ma trận đơn module (unimodular matrix).
Mục Lục
Định Thức và Hệ Phương Trình Đại Số Tuyến Tính
Khái niệm định thức xuất hiện sớm nhất trong bối cảnh giải các hệ phương trình đại số tuyến tính, đặc biệt là các hệ có số phương trình bằng số ẩn. Một hệ phương trình như vậy có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.
Xét ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn:
{
a . x + b . y = e ,
c . x + d . y = f ,
{displaystyle {begin{cases}a.x+b.y=e,c.x+d.y=f,end{cases}}}
Các hệ số của ẩn tạo thành ma trận vuông:
A =
[
a
b
c
d
]
{displaystyle A={begin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix}}}
Định thức của ma trận này là:
det(A) = ad – bc.
Nếu det(A) ≠ 0, hệ có nghiệm duy nhất:
x =
e d − b f
a d − b c
; y =
a f − c e
a d − b c
{displaystyle x={frac {ed-bf}{ad-bc}};;;y={frac {af-ce}{ad-bc}}}
Trong trường hợp det(A) = 0, hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào.
Nếu e = f = 0, hệ trở thành hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, luôn có nghiệm tầm thường là x = 0 và y = 0. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của hệ bằng 0.
Định Thức Của Ma Trận Vuông Cấp n
Cho ma trận vuông cấp n:
A =
[
a
1 , 1
a
1 , 2
a
1 , 3
⋯
a
1 , n
a
2 , 1
a
2 , 2
a
2 , 3
⋯
a
2 , n
a
3 , 1
a
3 , 2
a
3 , 3
⋯
a
3 , n
⋅
⋅
⋅
⋯
⋅
a
n , 1
a
n , 2
a
n , 3
⋯
a
n , n
]
{displaystyle A={begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&cdots &a_{1,n}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&cdots &a_{2,n}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&cdots &a_{3,n}cdot &cdot &cdot &cdots &cdot a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&cdots &a_{n,n}end{bmatrix}}}
Định Nghĩa Định Thức
Định nghĩa chính thức của định thức trong đại số tuyến tính liên quan đến khái niệm dấu của hoán vị.
Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2,…,n ta có:(Công thức Leibniz)[1]*
det ( A ) =
∑
σ ∈
S
n
sgn ( σ )
∏
i = 1
n
a
i , σ ( i )
{displaystyle det(A)=sum _{sigma in S_{n}}operatorname {sgn}(sigma )prod _{i=1}^{n}a_{i,sigma (i)}}
Định thức của một ma trận vuông còn được viết như sau:
d e t A =
|
a
1 , 1
a
1 , 2
a
1 , 3
⋯
a
1 , n
a
2 , 1
a
2 , 2
a
2 , 3
⋯
a
2 , n
a
3 , 1
a
3 , 2
a
3 , 3
⋯
a
3 , n
⋅
⋅
⋅
⋯
⋅
a
n , 1
a
n , 2
a
n , 3
⋯
a
n , n
|
{displaystyle detA={begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&cdots &a_{1,n}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&cdots &a_{2,n}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&cdots &a_{3,n}cdot &cdot &cdot &cdots &cdot a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&cdots &a_{n,n}end{vmatrix}}}
Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1, 2, 3 ta có:
det
[
a
]
= a
{displaystyle det {begin{bmatrix}aend{bmatrix}}=a}
det
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
a
11
a
22
−
a
12
a
21
{displaystyle det {begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}a_{21}&a_{22}end{bmatrix}}={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}a_{21}&a_{22}end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
det
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
a
11
a
22
a
33
- a
12
a
23
a
31 -
a
13
a
21
a
32
−
a
13
a
22
a
31
−
a
12
a
21
a
33
−
a
11
a
23
a
32
{displaystyle det {begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}a_{21}&a_{22}&a_{23}a_{31}&a_{32}&a_{33}end{bmatrix}}={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}a_{21}&a_{22}&a_{23}a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}}{displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}}
Ứng Dụng Của Định Thức Trong Toán Học và Kỹ Thuật
Định thức có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học, vật lý và kỹ thuật, bao gồm:
- Kiểm tra tính khả nghịch của ma trận: Một ma trận vuông có ma trận nghịch đảo (khả nghịch) khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.
- Biểu diễn nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (Định lý Cramer): Định lý Cramer cho phép biểu diễn nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thông qua các định thức.
- Tìm vectơ riêng của ma trận: Các vectơ riêng của ma trận A có thể được tìm thông qua đa thức đặc trưng p(x) = det(xI – A), trong đó I là ma trận đơn vị cùng kích thước với A.
- Xác định hướng của cơ sở trong không gian Euclid: Dấu của định thức của một cơ sở có thể được sử dụng để xác định hướng của cơ sở đó. Nếu định thức dương, cơ sở thuận chiều; nếu âm, cơ sở ngược chiều.
- Tính thể tích trong giải tích vectơ: Giá trị tuyệt đối của định thức của các vectơ trên trường số thực bằng với thể tích của hình hộp được tạo ra bởi các vectơ đó.
Tổng quát hơn, nếu ánh xạ tuyến tính f: R^n → R^m được đặc trưng bởi ma trận A kích thước m x n, và S là một tập con đo được bất kỳ của R^n, thì thể tích n-chiều của f(S) được tính bởi:
det (
A
⊤
A )
× volume ( S )
{displaystyle {sqrt {det(A^{top }A)}}times operatorname {volume} (S)}
Bằng cách tính thể tích của tứ diện có 4 đỉnh, chúng có thể được dùng để nhận diện (xác định) các đường ghềnh.
Thể tích của tứ diện bất kì, cho bởi các đỉnh a, b, c, và d, là (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|.
Ví Dụ Minh Họa Cách Tính Định Thức
Xét ma trận:
A =
[
− 2
2
− 3
− 1
1
3
2
0
− 1
]
{displaystyle A={begin{bmatrix}-2&2&-3-1&1&32&0&-1end{bmatrix}}}
Chúng ta sẽ tính định thức của ma trận này bằng nhiều cách khác nhau:
Cách 1: Sử dụng công thức Leibniz
det ( A )
{displaystyle det(A),}
{displaystyle =,}
( − 2 ) ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0
{displaystyle (-2)cdot 1cdot (-1)+2cdot 3cdot 2+(-3)cdot (-1)cdot 0}
− 2 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) − ⋅ 3 ⋅ ( − 2 ) − ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 2
{displaystyle -2cdot 1cdot (-3)-0cdot 3cdot (-2)-(-1)cdot (-1)cdot 2}
{displaystyle =,}
2 + 12 + + 6 − 2 = 18
{displaystyle 2+12+0+6-2=18,}
Cách 2: Sử dụng công thức Laplace
Khai triển định thức theo một hàng hoặc một cột. Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử bằng 0 để đơn giản hóa tính toán. Trong ví dụ này, ta khai triển theo cột thứ 2:
det ( A )
{displaystyle det(A),}
{displaystyle =,}
( − 1
)
1 + 2
⋅ 2 ⋅ det
[
− 1
3
2
− 1
]
+ ( − 1
)
2 + 2
⋅ 1 ⋅ det
[
− 2
− 3
2
− 1
]
{displaystyle (-1)^{1+2}cdot 2cdot det {begin{bmatrix}-1&32&-1end{bmatrix}}+(-1)^{2+2}cdot 1cdot det {begin{bmatrix}-2&-32&-1end{bmatrix}}}
{displaystyle =,}
( − 2 ) ⋅ ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 3 ) + 1 ⋅ ( ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ ( − 3 ) )
{displaystyle (-2)cdot ((-1)cdot (-1)-2cdot 3)+1cdot ((-2)cdot (-1)-2cdot (-3))}
{displaystyle =,}
( − 2 ) ( − 5 ) + 8 = 18.
{displaystyle (-2)(-5)+8=18.,}
Cách 3: Sử dụng phép khử Gauss
Áp dụng các tính chất của định thức để biến đổi ma trận về dạng đơn giản hơn (ví dụ: có nhiều phần tử bằng 0) trước khi tính toán.
[2
− 3
1
3
2
− 1
] {displaystyle {begin{bmatrix}0&2&-3&1&32&0&-1end{bmatrix}}}
Khai triển theo cột đầu tiên:
det ( A )
{displaystyle det(A),}
{displaystyle =,}
( − 1
)
1 + 3
⋅ 2 ⋅ det
[
2
− 3
1
3
]
{displaystyle (-1)^{1+3}cdot 2cdot det {begin{bmatrix}2&-31&3end{bmatrix}}}
{displaystyle =,}
2 ⋅ ( 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 3 ) ) = 2 ⋅ 9 = 18.
{displaystyle 2cdot (2cdot 3-1cdot (-3))=2cdot 9=18.,}
Các Tính Chất và Phép Biến Đổi Trên Hàng và Cột Của Định Thức
Cho ma trận A vuông cấp n:
- Định thức của A bằng không nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
- A có tất cả các phần tử trên một hàng (hoặc một cột) bằng 0.
- A có hai hàng (hoặc hai cột) tỉ lệ.
- Tổng quát: A có một hàng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng (hoặc các cột) khác.
- Trên các hàng và các cột của A có thể thực hiện các phép biến đổi sau:
- Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) khác nhau thì định thức đổi dấu.
- Nếu nhân một hằng số a vào một hàng (hoặc một cột) của A thì định thức của ma trận cuối sẽ là a.det(A).
- Nếu nhân một số a ≠ 0 vào một hàng (hoặc một cột) của A, và cộng hàng (hoặc cột) này vào một hàng (hoặc một cột) khác thì giá trị của định thức sẽ không đổi.
Định Thức và Các Phép Toán Trên Ma Trận
- det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) = det ( B ) det ( A )
{displaystyle det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A),}
với mọi ma trận khả tích n–n A {displaystyle A} và B {displaystyle B}.
Từ đó:
det ( r
I
n
) =
r
n
{displaystyle det(rI_{n})=r^{n},}
và
det ( r A ) = det ( r
I
n
⋅ A ) =
r
n
det ( A )
{displaystyle det(rA)=det(rI_{n}cdot A)=r^{n}det(A),}
với mọi ma trận n {displaystyle n} – n {displaystyle n} A {displaystyle A} và mọi số r {displaystyle r}.
- Ma trận A
{displaystyle A} trên một trường là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khác 0, trong trường hợp này ta có:
det (
A
− 1
) = det ( A
)
− 1
{displaystyle det(A^{-1})=det(A)^{-1},}
- Ma trận vuông A và ma trận chuyển vị AT của nó có định thức bằng nhau:
det (
A
⊤
) = det ( A )
{displaystyle det(A^{top })=det(A),}
Tài Liệu Tham Khảo
- Nguyễn Hữu Việt Hưng, 1999, Đại số tuyến tính