Dao động điều hòa là một khái niệm quan trọng trong chương trình Vật lý THPT. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về dao động điều hòa, từ định nghĩa, phương trình, đến các đại lượng đặc trưng và bài tập vận dụng.
I. Dao Động Cơ
1. Dao động cơ là gì?
Dao động cơ là sự chuyển động lặp đi lặp lại của một vật quanh vị trí cân bằng.
Ví dụ:
- Sự rung động của dây đàn guitar.
- Con thuyền nhấp nhô trên mặt biển.
2. Dao động tuần hoàn là gì?
Dao động của một vật có thể là dao động tuần hoàn hoặc không tuần hoàn. Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau, vật trở về vị trí cũ theo hướng cũ.
Ví dụ:
- Con lắc đồng hồ là một ví dụ về dao động tuần hoàn.
- Chiếc thuyền nhấp nhô trên mặt biển thường không được coi là dao động tuần hoàn do tác động của sóng biển không đều.
3. Dao động điều hòa là gì?
Dao động điều hòa là một trường hợp đặc biệt của dao động tuần hoàn, trong đó vật trở lại vị trí ban đầu theo hướng cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau (chu kỳ T). Đây là dạng dao động tuần hoàn đơn giản nhất và có thể được mô tả bằng hàm sin hoặc cosin.
Hình ảnh minh họa dao động cơ
II. Phương Trình của Dao Động Điều Hòa
1. Ví dụ về dao động điều hòa
Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều với vận tốc góc ω. Hình chiếu P của M lên trục Ox sẽ dao động điều hòa.
- Tại thời điểm t = 0, M có tọa độ góc là φ.
- Sau thời gian t, M có tọa độ góc là ωt + φ.
- Khi đó, li độ của P là: x = OM * cos(ωt + φ)
Đặt A = OM (bán kính quỹ đạo), ta có phương trình: x = Acos(ωt + φ)
Trong đó A, ω, φ là các hằng số. Vì hàm cosin là hàm điều hòa, nên P dao động điều hòa.
2. Định nghĩa dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin (hoặc sin) của thời gian.
3. Phương trình dao động điều hòa
Phương trình x = Acos(ωt + φ) là phương trình của dao động điều hòa, trong đó:
- A là biên độ dao động (li độ cực đại), A > 0. Đơn vị: mét (m) hoặc centimet (cm).
- ωt + φ là pha của dao động tại thời điểm t, đơn vị là radian (rad).
- φ là pha ban đầu của dao động tại t = 0, -π ≤ φ ≤ π, đơn vị là radian (rad).
Đồ thị biểu diễn dao động điều hòa
4. Một số lưu ý
- Dao động điều hòa có thể được biểu diễn như hình chiếu của một chuyển động tròn đều lên một đường kính.
- Pha của dao động được tính từ trục x, và chiều tăng của pha tương ứng với chiều của góc trong chuyển động tròn đều.
III. Chu Kỳ, Tần Số, Tần Số Góc của Dao Động Điều Hòa
1. Chu kỳ và tần số
Khi vật trở về vị trí cũ theo hướng cũ, ta nói vật thực hiện một dao động toàn phần.
- Chu kỳ (T) là thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần, đơn vị là giây (s).
- Tần số (f) là số dao động toàn phần thực hiện trong một giây, đơn vị là Hertz (Hz).
2. Tần số góc
Trong dao động điều hòa, ω được gọi là tần số góc.
Giữa tần số góc, chu kỳ và tần số có mối liên hệ:
ω = 2πf = 2π/T
IV. Vận Tốc và Gia Tốc của Dao Động Điều Hòa
1. Vận tốc
Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian:
v = x’ = -ωAsin(ωt + φ)
Vận tốc biến thiên theo thời gian:
- Tại x = ±A (vị trí biên): v = 0
- Tại x = 0 (vị trí cân bằng): v = vmax = ωA
2. Gia tốc
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian:
a = v’ = x” = -ω2Acos(ωt + φ) = -ω2x
Gia tốc cũng biến thiên điều hòa và luôn hướng về vị trí cân bằng.
- Tại x = 0 (vị trí cân bằng): a = 0
- Tại x = ±A (vị trí biên): a = amax = ω2A
V. Đồ Thị của Dao Động Điều Hòa
Đồ thị của dao động điều hòa với φ = 0 có dạng hình sin, do đó còn được gọi là dao động hình sin.
Đồ thị hình sin biểu diễn dao động điều hòa
VI. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Phát biểu định nghĩa của dao động điều hòa.
Lời giải: Dao động điều hòa là dao động được mô tả bằng hàm sin hoặc cosin theo thời gian: x = Acos(ωt + φ).
Bài 2: Viết phương trình của dao động điều hòa và giải thích các đại lượng trong phương trình.
Lời giải: Phương trình: x = Acos(ωt + φ)
- x: li độ (cm, m)
- A: biên độ (cm, m)
- ω: tần số góc (rad/s)
- ωt + φ: pha dao động (rad)
- φ: pha ban đầu (rad)
Bài 3: Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều?
Lời giải: Dao động điều hòa có thể được coi là hình chiếu của một điểm chuyển động tròn đều lên một đường kính.
Bài 4: Nêu định nghĩa chu kỳ và tần số của dao động điều hòa.
Lời giải:
- Chu kỳ (T): thời gian vật thực hiện một dao động toàn phần (s).
- Tần số (f): số dao động toàn phần vật thực hiện trong một giây (Hz).
Bài 5: Giữa chu kì, tần số và tần số góc có mối liên hệ như thế nào?
Lời giải: ω = 2πf = 2π/T
Bài 6: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = Acos(ωt + φ).
a) Lập công thức tính vận tốc và gia tốc của vật.
b) Ở vị trí nào thì vận tốc bằng 0? Ở vị trí nào thì gia tốc bằng 0?
c) Ở vị trí nào thì vận tốc có độ dài cực đại? Ở vị trí nào thì gia tốc có độ lớn cực đại?
Lời giải:
a) v = -ωAsin(ωt + φ); a = -ω2Acos(ωt + φ) = -ω2x
b) v = 0 tại x = ±A; a = 0 tại x = 0
c) vmax = ωA tại x = 0; amax = ω2A tại x = ±A
Bài 7: Một vật dao động điều hòa có quỹ đạo là một đoạn thẳng dài 12cm. Biên độ dao động của vật là bao nhiêu?
A. 12cm; B. – 12cm; C. 6cm; D. – 6cm;
Lời giải: C. 6cm (Biên độ bằng một nửa chiều dài quỹ đạo)
Bài 8: Một vật chuyển động tròn đều với vận tốc góc là π (rad/s). Hình chiếu của vật trên một đường kính dao động điều hòa với tần số góc, chu kì và tần số bằng bao nhiêu?
A. π rad/s; 2s; 0,5 Hz
Lời giải: A. π rad/s; 2s; 0,5 Hz (Tần số góc bằng vận tốc góc, chu kỳ và tần số tính theo công thức)
Bài 9: Cho phương trình của dao động điều hòa x = – 5cos(4πt) (cm). Biên độ và pha ban đầu của dao động là bao nhiêu?
A. 5cm; π rad
Lời giải: A. 5cm; π rad (Sử dụng công thức lượng giác để đưa về dạng chuẩn)
Bài 10: Phương trình của dao động điều hòa là x = 2cos(5t – π/6)(cm). Hãy cho biết biên độ, pha ban đầu, và pha ở thời điểm t của dao động.
Lời giải: A = 2 cm; φ = -π/6 rad; pha ở thời điểm t: 5t – π/6 rad
Bài 11: Một vật dao động điều hòa phải mất 0,25s để đi từ điểm có vận tốc bằng không tới điểm tiếp theo cũng như vậy. Khoảng cách giữa hai điểm là 36cm. Tính:
a) Chu kì b) Tần số c) Biên độ.
Lời giải:
a) T = 0,5s
b) f = 2Hz
c) A = 18cm