Cointegration (đồng tích hợp) là một công cụ quan trọng để mô hình hóa các mối quan hệ dài hạn trong dữ liệu chuỗi thời gian. Nếu bạn làm việc với dữ liệu chuỗi thời gian, bạn có thể cần sử dụng cointegration tại một thời điểm nào đó.
Bài viết này cung cấp một giới thiệu chuyên sâu về cointegration và sẽ bao gồm tất cả những điều cơ bản bạn cần để bắt đầu. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét:
- Các nguyên tắc cơ bản của cointegration.
- Mô hình hiệu chỉnh sai số (Error Correction Model – ECM).
- Cách chuẩn bị cho kiểm định cointegration.
- Các kiểm định cointegration nào nên sử dụng khi có và không có thay đổi cấu trúc (structural breaks).
- Cách giải thích các kiểm định cointegration.
- Cách thực hiện các kiểm định cointegration trong GAUSS.
Mặc dù không bắt buộc, bạn có thể thấy hữu ích khi xem lại các bài viết về mô hình hóa chuỗi thời gian và kiểm định nghiệm đơn vị (unit root testing) trước khi tiếp tục với bài viết này.
Mục Lục
Cointegration là gì?
Lý thuyết kinh tế cho thấy rằng nhiều bộ dữ liệu chuỗi thời gian sẽ di chuyển cùng nhau, dao động xung quanh một trạng thái cân bằng dài hạn. Trong kinh tế lượng và thống kê, trạng thái cân bằng dài hạn này được kiểm tra và đo lường bằng khái niệm cointegration.
Cointegration xảy ra khi hai hoặc nhiều chuỗi thời gian không dừng (nonstationary time series):
- Có một trạng thái cân bằng dài hạn.
- Di chuyển cùng nhau theo cách mà sự kết hợp tuyến tính của chúng tạo ra một chuỗi thời gian dừng (stationary time series).
- Chia sẻ một xu hướng ngẫu nhiên (stochastic trend) chung cơ bản.
Ví dụ về chuỗi thời gian Cointegrated?
Dưới đây là một số ví dụ thực tế về các mối quan hệ cointegrated:
| Lĩnh vực | Lý thuyết hỗ trợ | Chuỗi thời gian |
|---|---|---|
| Kinh tế học | Giả thuyết thu nhập thường xuyên mô tả cách các tác nhân phân bổ mức tiêu dùng của họ trong suốt cuộc đời dựa trên thu nhập dự kiến của họ. | Tiêu dùng và thu nhập. |
| Kinh tế học | Học thuyết ngang giá sức mua là một lý thuyết liên quan đến giá của một giỏ hàng hóa giữa các quốc gia khác nhau. | Tỷ giá hối đoái danh nghĩa và giá cả trong nước và nước ngoài. |
| Tài chính | Mô hình giá trị hiện tại của giá cổ phiếu ngụ ý một mối quan hệ dài hạn giữa giá cổ phiếu và cổ tức hoặc thu nhập của chúng. | Giá cổ phiếu và cổ tức/thu nhập cổ phiếu. |
| Dịch tễ học | Mô hình tỷ lệ tử vong chung ngụ ý một mối quan hệ dài hạn giữa tỷ lệ tử vong giữa các nhóm nhân khẩu học khác nhau. | Tỷ lệ tử vong của nam và nữ. |
| Y học | Các phương pháp chuỗi thời gian đã được sử dụng để kiểm tra các bệnh đi kèm của các loại ung thư khác nhau và xu hướng phúc lợi y tế. | Tỷ lệ mắc các loại ung thư khác nhau. |
Toán học của Cointegration
Để hiểu toán học của cointegration, hãy xem xét một nhóm chuỗi thời gian, $Y_t$, bao gồm ba chuỗi thời gian riêng biệt:
$$y_1 = (y_{11}, y_{12}, dots, y_{1t})$$
$$y_2 = (y_{21}, y_{22}, dots, y_{2t})$$
$$y_3 = (y_{31}, y_{32}, dots, y_{3t})$$
Cả ba chuỗi đều là chuỗi thời gian không dừng.
Cointegration ngụ ý rằng trong khi $y_1$, $y_2$ và $y_3$ độc lập không dừng, chúng có thể được kết hợp theo cách mà sự kết hợp tuyến tính của chúng là dừng:
$$beta Y_t = beta_1 y_{1t} + beta_2 y_{2t} + beta_3 y_{3t} sim I(0)$$
Vectơ Cointegrating Trong bối cảnh cointegration, $beta$ thường được gọi là vectơ cointegrating. Vectơ này:
- Quy định cách kết hợp các chuỗi cointegrating.
- Không nhất thiết phải là duy nhất – có thể có nhiều cách cointegrating.
Chuẩn hóa Vì có thể có nhiều vectơ cointegrating phù hợp với cùng một mô hình kinh tế, chúng ta phải áp đặt các hạn chế nhận dạng để chuẩn hóa vectơ cointegrating để ước tính.
Một cách chuẩn hóa phổ biến của vectơ cointegrating là đặt $beta = ( 1, -beta_2, dots, -beta_N)$. Ví dụ: áp dụng các hạn chế này cho hệ thống trước đó của chúng ta sẽ cho:
$$beta Y_t = y_{1t} – beta_2 y_{2t} – beta_3 y_{3t} sim I(0)$$
Một phần hấp dẫn của việc chuẩn hóa này là nó có thể được viết lại ở dạng hồi quy tiêu chuẩn:
$$y_{1t} = beta_2 y_{2t} + beta_3 y_{3t} + u_t$$
trong đó $u_t$ là một thành phần sai số cointegrating dừng. Về mặt trực quan, $u_t$ có thể được coi là độ lệch ngắn hạn so với trạng thái cân bằng dài hạn.
Mặc dù định dạng hồi quy là một cách chuẩn hóa phổ biến, điều quan trọng cần nhớ là lý thuyết kinh tế nên cung cấp thông tin cho các hạn chế nhận dạng của chúng ta.
Mô hình hiệu chỉnh sai số (Error Correction Model – ECM) là gì?
Cointegration ngụ ý rằng các chuỗi thời gian sẽ được kết nối thông qua một mô hình hiệu chỉnh sai số. Mô hình hiệu chỉnh sai số rất quan trọng trong phân tích chuỗi thời gian vì nó cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về động lực dài hạn. Ngoài ra, việc không mô hình hóa đúng cách các biến cointegrated có thể dẫn đến ước tính sai lệch.
Mô hình hiệu chỉnh sai số:
- Phản ánh các mối quan hệ cân bằng dài hạn của các biến.
- Bao gồm một cơ chế điều chỉnh động ngắn hạn mô tả cách các biến điều chỉnh khi chúng mất cân bằng.
- Sử dụng các hệ số điều chỉnh để đo lường các lực đẩy mối quan hệ về phía trạng thái cân bằng dài hạn.
Toán học của Mô hình hiệu chỉnh sai số
Giả sử rằng có một hệ thống cointegrated hai biến với $Y_t = (y_{1t}, y_{2t})$ và một vectơ cointegrating $beta = (1, -beta_2)$ sao cho:
$$beta Y_{t} = y_{1t} – beta_2 y_{2t}$$
Mô hình hiệu chỉnh sai số mô tả động lực của một biến như một hàm của độ lệch so với trạng thái cân bằng dài hạn:
$$Delta y_{1t} = c_1 + alpha_1 (y_{1,t-1} – beta_2 y_{2,t-1}) + sum_j psi^j_{11} Delta y_{1, t-j} + sum_j psi^j_{12} Delta y_{2, t-j} + epsilon_1t$$
$$Delta y_{2t} = c_2 + alpha_2 (y_{1,t-1} – beta_2 y_{2,t-1}) + sum_j psi^j_{21} Delta y_{1, t-j} + sum_j psi^j_{22} Delta y_{2, t-j} + epsilon_2t$$
| Thuật ngữ | Mô tả | Trực giác |
|---|---|---|
| $y_{1,t-1} – beta_2 y_{2,t-1}$ | Trạng thái cân bằng dài hạn Cointegrated | Vì đây là một mối quan hệ cân bằng, nó đóng một vai trò trong các đường dẫn động của cả $y_{1t}$ và $y_{2t}$. |
| $alpha_1$, $alpha_2$ | Hệ số điều chỉnh | Nắm bắt các phản ứng của $y_{1t}$ và $y_{2t}$ đối với sự mất cân bằng. |
| $sum_j psi^j_{11} Delta y_{1, t-j} + sum_j psi^j_{12} Delta y_{2, t-j}$ | Độ trễ phân phối tự hồi quy | Nắm bắt các động lực bổ sung. |
Ước tính Mô hình hiệu chỉnh sai số
Nếu vectơ cointegrating đã được ước tính trước đó, thì OLS hoặc DOLS tiêu chuẩn có thể được sử dụng để ước tính mối quan hệ hiệu chỉnh sai số. Trong trường hợp này:
- Ước tính của vectơ cointegrating có thể được coi như một biến đã biết.
- Sai số mất cân bằng ước tính có thể được coi như một biến đã biết.
Mối quan hệ ECM có thể được ước tính bằng cách sử dụng OLS, hồi quy dường như không liên quan (SUR) hoặc ước tính khả năng xảy ra tối đa.
Mô hình hiệu chỉnh sai số vectơ (Vector Error Correction Model – VECM)
Mô hình hiệu chỉnh sai số vectơ (VECM) là phần mở rộng đa biến của ECM. Nếu chúng ta đang làm việc trong bối cảnh tự hồi quy vectơ, cointegration ngụ ý một VECM sao cho:
$$Delta Y_t = Phi D_t + Pi Y_{t-1} + Gamma_1 Delta Y_{t-1} + dots + Gamma_{p-1} Delta Y_{t-p+1} + epsilon_t$$
Giống như ECM, các tham số VECM phản ánh động lực dài hạn và ngắn hạn của hệ thống như được hiển thị trong bảng bên dưới:
| Thuật ngữ | Mô tả | Trực giác |
|---|---|---|
| $Pi$ | Ma trận tác động dài hạn. $Pi = Pi_1 + Pi_2 + dots + Pi_p – I_n$, nắm bắt các điều chỉnh đối với trạng thái cân bằng dài hạn và chứa các mối quan hệ cointegrating. | |
| $Gamma_k$ | Ma trận tác động ngắn hạn. Ma trận tác động ngắn hạn được xây dựng từ $-sum_{j=k+1}^p Pi_j$ và nắm bắt các độ lệch ngắn hạn so với trạng thái cân bằng. | |
| $D_t$ | Các số hạng tất định. Các số hạng này có dạng $D_t = u_0 + u_1 t$ trong đó $u_0$ là thành phần hằng số và $u_1 t$ là thành phần xu hướng. |
Ước tính VECM
Mô hình VECM có thể được ước tính bằng phương pháp Johansen:
- Ước tính mô hình VAR(p) thích hợp cho $Y_t$.
- Xác định số lượng vectơ cointegrating, bằng cách sử dụng kiểm định tỷ lệ khả năng xảy ra cho thứ hạng của $Pi$.
- Áp đặt các hạn chế nhận dạng để chuẩn hóa vectơ cointegrating.
- Sử dụng các vectơ cointegrating được chuẩn hóa, ước tính VECM kết quả bằng khả năng xảy ra tối đa.
Chuẩn bị cho Kiểm định Cointegration
Trước khi chuyển trực tiếp sang kiểm định cointegration, có một số bước mô hình hóa chuỗi thời gian khác mà chúng ta nên xem xét trước.
Thiết lập Lý thuyết Cơ bản
Một trong những cân nhắc quan trọng trước khi kiểm tra cointegration là liệu có sự hỗ trợ lý thuyết cho mối quan hệ cointegrating hay không. Điều quan trọng cần nhớ là cointegration xảy ra khi các chuỗi thời gian riêng biệt chia sẻ một xu hướng ngẫu nhiên cơ bản. Ý tưởng về một xu hướng chung nên được hỗ trợ bởi lý thuyết kinh tế.
Ví dụ, hãy xem xét lý thuyết tăng trưởng cho thấy rằng năng suất là một động lực chính của tăng trưởng kinh tế. Như vậy, nó hoạt động như một xu hướng chung, thúc đẩy sự di chuyển chung của nhiều chỉ số tăng trưởng kinh tế. Do đó, lý thuyết này ngụ ý rằng tiêu dùng, đầu tư và thu nhập đều được cointegrated.
Trực quan hóa Chuỗi Thời gian
Một trong những bước đầu tiên trong mô hình hóa chuỗi thời gian nên là trực quan hóa dữ liệu. Các biểu đồ chuỗi thời gian cung cấp thông tin chi tiết sơ bộ tốt về hành vi của dữ liệu chuỗi thời gian:
- Một chuỗi có quay trở lại trung bình hay có hành vi bùng nổ?
- Nó có xu hướng thời gian không?
- Có tính thời vụ không?
- Có thay đổi cấu trúc không?
Kiểm định Nghiệm Đơn vị (Unit Root Testing)
Chúng ta đã thiết lập rằng cointegration xảy ra giữa các chuỗi thời gian không dừng, I(1). Điều này ngụ ý rằng trước khi kiểm tra hoặc ước tính một mối quan hệ cointegrating, chúng ta nên thực hiện kiểm tra nghiệm đơn vị.
Alt text: Biểu đồ so sánh sự biến động giá vàng và bạc từ năm 1915, cho thấy xu hướng tương đồng.
Kiểm tra Thay đổi Cấu trúc
Một phân tích chuỗi thời gian hoàn chỉnh nên xem xét khả năng thay đổi cấu trúc đã xảy ra. Trong trường hợp thay đổi cấu trúc đã xảy ra, các kiểm định tiêu chuẩn cho cointegration là không hợp lệ.
Do đó, điều quan trọng là:
- Kiểm tra xem thay đổi cấu trúc có xảy ra trong các chuỗi riêng lẻ hay không.
- Trong trường hợp có bằng chứng về thay đổi cấu trúc, hãy sử dụng các kiểm định cointegration cho phép thay đổi cấu trúc.
Các Kiểm định Cointegration
Để kiểm tra cointegration, chúng ta phải kiểm tra xem một trạng thái cân bằng dài hạn có tồn tại cho một nhóm dữ liệu hay không. Có một số điều cần được xem xét:
- Có nhiều vectơ cointegrating hay chỉ một?
- Vectơ cointegrating đã biết hay cần được ước tính?
- Các thành phần tất định nào được bao gồm trong mối quan hệ cointegrating?
- Chúng ta có nghi ngờ thay đổi cấu trúc trong mối quan hệ cointegrating không?
Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra cách sử dụng các câu hỏi này để hướng dẫn kiểm tra cointegration mà không có thay đổi cấu trúc.
Kiểm định Cointegration Engle-Granger
Kiểm định cointegration Engle-Granger xem xét trường hợp có một vectơ cointegrating duy nhất. Kiểm định tuân theo trực giác rất đơn giản rằng nếu các biến được cointegrated, thì phần dư của hồi quy cointegrating phải là dừng.
Hình thành phần dư cointegrating Cách hình thành phần dư cointegrating phụ thuộc vào việc vectơ cointegrating đã biết hay phải được ước tính:
Nếu vectơ cointegrating đã biết, phần dư cointegrating được tính trực tiếp bằng cách sử dụng $u_t = beta Y_t$. Phần dư phải là dừng và:
- Bất kỳ kiểm định nghiệm đơn vị tiêu chuẩn nào, chẳng hạn như kiểm định ADF hoặc PP, có thể được sử dụng để kiểm tra phần dư. Các thống kê kiểm định tuân theo các phân phối tiêu chuẩn.
- Kiểm định so sánh giả thuyết vô hiệu về không có cointegration với giả thuyết thay thế về cointegration.
- Phần dư cointegrating nên được kiểm tra sự hiện diện của một hằng số hoặc xu hướng, và kiểm định nghiệm đơn vị thích hợp nên được sử dụng.
Nếu vectơ cointegrating chưa biết, OLS được sử dụng để ước tính vectơ cointegrating được chuẩn hóa từ hồi quy:
$$y_{1t} = c + beta y_{2t} + u_{t}$$
- Phần dư từ hồi quy cointegrating được ước tính:
$$hat{u_t} = y_{1t} – hat{c} – hat{beta_2}y_{2t}$$
- Bất kỳ kiểm định nghiệm đơn vị tiêu chuẩn nào, chẳng hạn như kiểm định ADF hoặc PP, có thể được sử dụng để kiểm tra phần dư. Các thống kê kiểm định tuân theo các phân phối Phillips-Ouliaris (PO) không tiêu chuẩn.
- Phân phối PO phụ thuộc vào hành vi xu hướng của dữ liệu.
Các Kiểm định Johansen
Có hai kiểm định cointegrating Johansen cho bối cảnh VECM, kiểm định dấu vết và kiểm định giá trị riêng tối đa. Các kiểm định này xoay quanh trực giác rằng trong VECM, thứ hạng của ma trận tác động dài hạn, $Pi$, xác định xem các biến VAR(p) có được cointegrated hay không.
Vì thứ hạng của ma trận tác động dài hạn bằng số lượng mối quan hệ cointegrating:
- Một thống kê tỷ lệ khả năng xảy ra để xác định thứ hạng của $Pi$ có thể được sử dụng để thiết lập số lượng mối quan hệ cointegrating.
- Kiểm tra tuần tự có thể được sử dụng để kiểm tra số lượng, $k$, của các mối quan hệ cointegrating.
Quá trình kiểm tra Johansen có hai bước chung:
-
Ước tính mô hình VECM bằng cách sử dụng khả năng xảy ra tối đa theo các giả định khác nhau:
- Có và không có xu hướng.
- Có và không có hằng số.
- Với số lượng vectơ cointegrating khác nhau, $k$.
-
So sánh các mô hình bằng cách sử dụng kiểm định tỷ lệ khả năng xảy ra.
Thống kê Dấu vết Johansen Thống kê dấu vết Johansen:
- Là một kiểm định tỷ lệ khả năng xảy ra của một VECM không hạn chế so với VECM hạn chế với $k$ vectơ cointegrating, trong đó $k = m-1, dots, 0$.
- Được hình thành từ dấu vết của một ma trận đường chéo của các giá trị riêng tổng quát từ $Pi$.
- Khi thống kê $LR_{trace}(k)$ tiến gần đến 0, chúng ta càng ít có khả năng bác bỏ giả thuyết vô hiệu.
- Nếu $LR_{trace}(k) > CV$, thì giả thuyết vô hiệu bị bác bỏ.
Quá trình kiểm tra Johansen kiểm tra tuần tự giả thuyết vô hiệu rằng số lượng vectơ cointegrating, $k = m$ so với giả thuyết thay thế rằng $k > m$.
| Giai đoạn | Giả thuyết vô hiệu | Giả thuyết thay thế | Kết luận |
|---|---|---|---|
| Một | $H_0: k = 0$ | $H_A: k>0$ | Nếu $H_0$ không thể bị bác bỏ, hãy dừng kiểm tra và $k = 0$. Nếu giả thuyết vô hiệu bị bác bỏ, hãy thực hiện kiểm tra tiếp theo. |
| Hai | $H_0: k leq 1$ | $H_A: k>1$ | Nếu $H_0$ không thể bị bác bỏ, hãy dừng kiểm tra và $k leq 1$. Nếu giả thuyết vô hiệu bị bác bỏ, hãy thực hiện kiểm tra tiếp theo. |
| Ba | $H_0: k leq 2$ | $H_A: k>2$ | Nếu $H_0$ không thể bị bác bỏ, hãy dừng kiểm tra và $k leq 2$. Nếu giả thuyết vô hiệu bị bác bỏ, hãy thực hiện kiểm tra tiếp theo. |
| m-1 | $H_0: k leq m-1$ | $H_A: k>m-1$ | Nếu $H_0$ không thể bị bác bỏ, hãy dừng kiểm tra và $k leq m-1$. Nếu giả thuyết vô hiệu bị bác bỏ, hãy thực hiện kiểm tra tiếp theo. |
Thống kê kiểm định tuân theo một phân phối không tiêu chuẩn và phụ thuộc vào kích thước và xu hướng tất định được chỉ định.
Thống kê Giá trị Riêng Tối đa Johansen Thống kê giá trị riêng tối đa:
- Xem xét giả thuyết vô hiệu rằng thứ hạng cointegrating là $k$ so với giả thuyết thay thế rằng thứ hạng cointegrating là $k + 1$.
- Thống kê tuân theo một phân phối không tiêu chuẩn.
Kiểm định Cointegration với Thay đổi Cấu trúc
Trong trường hợp có thay đổi cấu trúc trong mối quan hệ cointegrating, các kiểm định cointegration trong trạm trước không nên được sử dụng. Trong phần này, chúng ta xem xét ba kiểm định cho cointegration với thay đổi cấu trúc:
- Kiểm định Gregory và Hansen (1996) cho cointegration với một thay đổi cấu trúc duy nhất.
- Kiểm định Hatemi-J (2009) cho cointegration với hai thay đổi cấu trúc.
- Kiểm định Maki cho cointegration với nhiều thay đổi cấu trúc.
Kiểm định Cointegration Gregory và Hansen
Kiểm định cointegration Gregory và Hansen (1996) là một kiểm định cointegration dựa trên phần dư, kiểm tra giả thuyết vô hiệu về không có cointegration so với giả thuyết thay thế về cointegration khi có một sự thay đổi chế độ duy nhất.
Kiểm định Gregory và Hansen (1996):
- Là một phần mở rộng của các kiểm định phần dư ADF và PP tiêu chuẩn cho cointegration.
- Cho phép thay đổi chế độ không xác định trong chặn hoặc vectơ hệ số.
- Có giá trị cho ba trường hợp mô hình khác nhau: thay đổi mức với xu hướng, thay đổi chế độ (thay đổi hệ số), thay đổi chế độ với sự thay đổi trong xu hướng.
Vì ngày thay đổi cấu trúc chưa biết, kiểm định tính toán thống kê kiểm định cointegration cho mỗi điểm ngắt có thể và các thống kê kiểm định nhỏ nhất được sử dụng.
Gregory và Hansen (1996) đề xuất chạy các kiểm định của họ kết hợp với các kiểm định cointegration tiêu chuẩn:
- Nếu kiểm định ADF tiêu chuẩn và kiểm định ADF Gregory và Hansen đều bác bỏ giả thuyết vô hiệu về không có cointegration, có bằng chứng ủng hộ cointegration.
- Nếu kiểm định ADF tiêu chuẩn không bác bỏ giả thuyết vô hiệu nhưng ADF Gregory và Hansen thì có, thay đổi cấu trúc trong vectơ cointegrating có thể quan trọng.
- Nếu kiểm định ADF tiêu chuẩn và ADF Gregory và Hansen đều bác bỏ giả thuyết vô hiệu, không có bằng chứng từ kiểm định này cho thấy thay đổi cấu trúc đã xảy ra.
Kiểm định Cointegration Hatemi-J với Hai Thay đổi Cấu trúc
Kiểm định cointegration Hatemi-J là một phần mở rộng của kiểm định cointegration Gregory và Hansen. Nó cho phép hai thay đổi cấu trúc có thể xảy ra với thời gian chưa biết.
Kiểm định Cointegration Maki
Kiểm định cointegration Maki xây dựng dựa trên các kiểm định cointegration Gregory và Hansen và Hatemi-J để cho phép một số lượng thay đổi cấu trúc chưa biết.
Tìm Các Kiểm định Cointegration cho GAUSS ở Đâu
Các công cụ GAUSS để thực hiện các kiểm định cointegration và ước tính các mô hình VECM có sẵn trong một số thư viện, bao gồm thư viện Time Series MT (TSMT), TSPDLIB và các thư viện coint. Tất cả những điều này có thể được định vị và cài đặt trực tiếp bằng trình quản lý gói GAUSS.
| Kiểm định Cointegration | Giả thuyết Vô hiệu | Quy tắc Quyết định | Thư viện GAUSS |
|---|---|---|---|
| Engle-Granger (ADF) | Không có cointegration. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu thống kê kiểm định $ADF$ nhỏ hơn giá trị tới hạn. | TSMT, tspdlib, coint |
| Phillips | Không có cointegration. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu thống kê kiểm định $Z$ nhỏ hơn giá trị tới hạn. | coint, tspdlib |
| Stock và Watson xu hướng chung | $Y$ là một hệ thống không được cointegrated sau khi cho phép xu hướng chung đa thức bậc p. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu thống kê kiểm định $SW$ nhỏ hơn giá trị tới hạn. | coint |
| Phillips và Ouliaris | $Y$ và $X$ không được cointegrated. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu thống kê $P_u$ hoặc $P_z$ lớn hơn giá trị tới hạn. | coint, tspdlib |
| Dấu vết Johansen | Hạng của $Pi$ bằng $r$ so với giả thuyết thay thế rằng hạng của $Pi$ lớn hơn $r$. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu $LM_{max}(k)$ lớn hơn giá trị tới hạn. | TSMT, coint |
| Giá trị Riêng Tối đa Johansen | Hạng của $Pi$ bằng $r$ so với giả thuyết thay thế rằng hạng của $Pi$ bằng $r+1$. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu $LM(r)$ lớn hơn giá trị tới hạn. | TSMT, coint |
| Gregory và Hansen | Không có cointegration so với giả thuyết thay thế về cointegration với một thay đổi cấu trúc. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu $ADF$, $Z_{alpha}$ hoặc $Z_t$ nhỏ hơn giá trị tới hạn. | tspdlib |
| Hatemi-J | Không có cointegration so với giả thuyết thay thế về cointegration với một số lượng thay đổi cấu trúc chưa biết. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu $ADF$, $Z_{alpha}$ hoặc $Z_t$ nhỏ hơn các giá trị tới hạn. | tspdlib |
| Maki | Không có cointegration so với giả thuyết thay thế về cointegration với hai thay đổi cấu trúc. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu $ADF$, $Z_{alpha}$ hoặc $Z_t$ nhỏ hơn giá trị tới hạn. | tspdlib |
| Kiểm định Shin | Cointegration. | Bác bỏ giả thuyết vô hiệu nếu thống kê kiểm định nhỏ hơn giá trị tới hạn. | tspdlib |
Cách Kiểm tra Cointegration bằng GAUSS
Trong phần này, chúng ta sẽ kiểm tra cointegration giữa giá vàng và bạc hàng tháng, sử dụng dữ liệu giá hàng tháng lịch sử bắt đầu từ năm 1915. Cụ thể, chúng ta sẽ làm việc qua một số giai đoạn phân tích:
- Vẽ đồ thị dữ liệu và kiểm tra hành vi tất định.
- Kiểm tra từng chuỗi để tìm nghiệm đơn vị.
- Kiểm tra cointegration mà không có thay đổi cấu trúc.
- Kiểm tra cointegration với thay đổi cấu trúc.
Vẽ đồ thị Dữ liệu
Như một bước đầu tiên, chúng ta sẽ tạo một biểu đồ chuỗi thời gian của dữ liệu của chúng ta. Điều này cho phép chúng ta kiểm tra trực quan các xu hướng tất định trong dữ liệu của chúng ta.
Từ các biểu đồ của chúng ta, chúng ta có thể rút ra một số kết luận sơ bộ về động lực của giá vàng và bạc trong khoảng thời gian của chúng ta:
- Có vẻ như có một số nền tảng cho sự di chuyển chung của giá bạc và vàng.
- Giá vàng và bạc dường như không có xu hướng thời gian.
Kiểm tra Từng Chuỗi để Tìm Nghiệm Đơn vị
Trước khi kiểm tra xem giá bạc và vàng có được cointegrated hay không, chúng ta nên kiểm tra xem chuỗi có nghiệm đơn vị hay không. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách sử dụng các kiểm định nghiệm đơn vị có sẵn trong các thư viện TSMT và TSPDLIB.
| Giá đóng cửa hàng tháng của vàng (2015-2020) | |
|---|---|
| Kiểm định Nghiệm Đơn vị Chuỗi Thời gian | Thống kê Kiểm định |
| Augmented-Dickey Fuller | -1.151 |
| Phillips-Perron | -1.312 |
| KPSS | 2.102 |
| Kiểm định LM Schmidt và Perron | -2.399 |
| GLS-ADF | -0.980 |
| Kết luận |
|---|
| Không thể bác bỏ giả thuyết vô hiệu về nghiệm đơn vị. |
| Không thể bác bỏ giả thuyết vô hiệu về nghiệm đơn vị. |
| Bác bỏ giả thuyết vô hiệu về tính dừng ở mức 1%. |
| Không thể bác bỏ giả thuyết vô hiệu về nghiệm đơn vị. |
| Không thể bác bỏ giả thuyết vô hiệu về nghiệm đơn vị. |
| Giá đóng cửa hàng tháng của bạc (2015-2020) | |
|---|---|
| Kiểm định Nghiệm Đơn vị Chuỗi Thời gian | Thống kê Kiểm định |
| Augmented-Dickey Fuller | -5.121 |
| Phillips-Perron | -5.446 |
| KPSS | 0.856 |
| Kiểm định LM Schmidt và Perron | -4.729 |
| GLS-ADF | -4.895 |
| Kết luận |
|---|
| Bác bỏ giả thuyết vô hiệu về nghiệm đơn vị ở mức 1%. |
| Bác bỏ giả thuyết vô hiệu về nghiệm đơn vị ở mức 1%. |
| Bác bỏ giả thuyết vô hiệu về tính dừng ở mức 1%. |
| Bác bỏ giả thuyết vô hiệu về nghiệm đơn vị ở mức 1%. |
| Bác bỏ giả thuyết vô hiệu về nghiệm đơn vị ở mức 1%. |
Những kết quả này cung cấp bằng chứng cho thấy giá vàng là không dừng nhưng cho thấy rằng giá bạc là dừng. Tại thời điểm này, chúng ta có thể không tiến hành kiểm tra cointegration hoặc chúng ta có thể muốn thực hiện kiểm tra nghiệm đơn vị bổ sung. Ví dụ: chúng ta có thể muốn thực hiện kiểm tra nghiệm đơn vị cho phép thay đổi cấu trúc.
Kiểm tra Cointegration
Bây giờ, hãy kiểm tra cointegration mà không có thay đổi cấu trúc bằng cách sử dụng hai kiểm định khác nhau, các kiểm định Johansen và kiểm định Engle-Granger.
Các Kiểm định Johansen Chúng ta sẽ sử dụng thủ tục vmsjmt từ thư viện TSMT. Thủ tục này nên được sử dụng với các thủ tục vmc_sjamt và vmc_sjtmt, tìm các giá trị tới hạn cho các thống kê Giá trị Riêng Tối đa và Dấu vết, tương ứng.
Thủ tục vmsjmt yêu cầu bốn đầu vào:
- y Ma trận, chứa dữ liệu sẽ được kiểm tra cointegration.
- p Vô hướng, bậc của đa thức thời gian trong hồi quy phù hợp. Đặt thành $p=-1$ để không có thành phần tất định, $p=0$ chỉ cho một hằng số, $p=1$ cho một hằng số và xu hướng.
- k Vô hướng, số lượng độ trễ khác biệt sẽ sử dụng khi tính toán ước tính.
- no_det Vô hướng, đặt $no_det = 1$ để triệt tiêu số hạng hằng số từ hồi quy phù hợp và bao gồm nó trong hồi quy cointegrating.
Thủ tục vmsjmt trả về cả thống kê Dấu vết Johansen và Giá trị Riêng Tối đa Johansen. Ngoài ra, nó trả về các giá trị riêng và vectơ riêng liên quan.
Cả trace_stat và max_ev sẽ chứa các thống kê cho tất cả các hạng có thể có của $Pi$.
Ví dụ: vì chúng ta đang kiểm tra cointegration của chỉ hai chuỗi thời gian, sẽ có nhiều nhất một vectơ cointegrating. Điều này có nghĩa là trace_stat và max_ev sẽ là ma trận 2 x 1, kiểm tra cả hai giả thuyết vô hiệu rằng $r=0$ và $r=1$.
| Kiểm định | Thống kê Kiểm định | Giá trị Tới hạn 10% | Kết luận |
|---|---|---|---|
| Thống kê Dấu vết Johansen | $$H_0: r=1, 56.707$$ $$H_0: r=0, 0.0767$$ | 10.46 | Không thể bác bỏ giả thuyết vô hiệu rằng $r=0$. |
| Giá trị Riêng Tối đa Johansen | $$H_0: r=1, 56.631$$ $$H_0: r=0, 0.0766$$ | 9.39 | Không thể bác bỏ giả thuyết vô hiệu rằng $r=0$. |
Những kết quả này chỉ ra rằng không có cointegration giữa giá vàng và bạc hàng tháng. Điều này không nên gây ngạc nhiên, do kết quả kiểm tra nghiệm đơn vị của chúng ta.
Engle-Granger Vì chỉ có một vectơ cointegrating có thể có cho hệ thống này, chúng ta cũng có thể đã sử dụng kiểm định Engle-Granger cho cointegration. Kiểm định này có thể được triển khai bằng cách sử dụng thủ tục coint_egranger từ thư viện TSPDLIB.
Thủ tục coint_egranger yêu cầu năm đầu vào:
- y Vectơ, biến độc lập trong hồi quy kiểm tra. Đây là biến mà biến cointegrating được chuẩn hóa.
- X Ma trận, biến (các) phụ thuộc trong hồi quy kiểm tra. Điều này nên chứa tất cả các biến khác.
- model Vô hướng, chỉ định thành phần tất định nào sẽ bao gồm trong mô hình. Đặt bằng 0 để không bao gồm thành phần tất định, 1 để bao gồm một hằng số và 2 để bao gồm một hằng số và xu hướng.
- pmax Vô hướng, số lượng độ tr