Mục Lục
1. Định nghĩa chứng minh
Chứng minh một mệnh đề là quá trình xác nhận tính đúng đắn của mệnh đề đó thông qua việc sử dụng các kiến thức, sự kiện và bằng chứng đã được công nhận.
Trong các hệ thống logic hình thức hóa, chứng minh được xem là một chuỗi các mệnh đề (hoặc công thức) liên tiếp, trong đó mỗi mệnh đề (hoặc công thức) phải đáp ứng một trong các điều kiện sau: là một tiên đề của hệ thống, đã được chứng minh trước đó, hoặc có thể suy ra từ các mệnh đề (hoặc công thức) đứng trước trong chuỗi theo một quy tắc của hệ thống. Mệnh đề cuối cùng trong chuỗi chính là mệnh đề cần chứng minh.
Trong toán học, chứng minh cũng tuân theo nguyên tắc tương tự: đó là một chuỗi các mệnh đề toán học, mỗi mệnh đề hoặc là một tiên đề của hệ thống toán học đang xét, hoặc đã được chứng minh trước đó (tức là một định lý), hoặc được suy ra từ các mệnh đề trước đó trong chuỗi thông qua các quy tắc logic diễn dịch. Chứng minh theo cách hiểu này (trong các hệ thống logic hình thức và toán học) được gọi là chứng minh theo nghĩa hẹp.
Tuy nhiên, chứng minh theo nghĩa rộng bao gồm cả các suy luận khác ngoài suy luận diễn dịch, chẳng hạn như quy nạp, tương tự, và xác suất, để đưa ra các mệnh đề mới từ những mệnh đề đã có.
Trong logic học, lý thuyết chứng minh là một ngành nghiên cứu chuyên sâu về chứng minh theo nghĩa hẹp. Các chứng minh trong toán học cũng thuộc loại này. Tuy nhiên, trong thực tế, việc chứng minh sự vô tội của một bị cáo bởi luật sư, tính đúng đắn của một kế hoạch kinh doanh bởi nhà kinh tế, sự tồn tại của một xu hướng xã hội bởi nhà xã hội học thông qua thống kê, hay khả năng tư duy của khỉ đột bởi nhà tâm lý học qua thí nghiệm, thường là các chứng minh theo nghĩa rộng.
2. Cấu trúc của phép chứng minh
Phép chứng minh bao gồm ba thành phần chính:
- Luận đề: Mệnh đề cần được chứng minh. Đây là mục tiêu cuối cùng của quá trình chứng minh.
- Luận cứ: Các sự kiện, quy luật, lý thuyết, định nghĩa,… được sử dụng làm cơ sở để chứng minh tính đúng đắn của luận đề.
- Lập luận: Cách thức sử dụng các quy tắc logic và sắp xếp các luận cứ một cách có hệ thống để làm rõ tính đúng đắn của luận đề. Lập luận chính là phương pháp tiến hành chứng minh.
3. Các ví dụ minh họa
Để hiểu rõ hơn về cách thức chứng minh, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: “Lịch sử của tất cả các xã hội từ trước đến nay chỉ là lịch sử đấu tranh giai cấp.”
Để chứng minh luận điểm này, Mác và Ăng-ghen đã sử dụng các bằng chứng lịch sử như sự phân chia thành các đẳng cấp trong xã hội cổ đại (ví dụ: quý tộc, hiệp sĩ, bình dân, nô lệ ở La Mã cổ đại), xã hội phong kiến (lãnh chúa, chư hầu, thợ cả, nông nô) và xã hội tư bản (giai cấp tư sản và giai cấp vô sản) cùng với các hình thức đấu tranh khác nhau trong mỗi thời đại. Suy luận chính được sử dụng ở đây là suy luận quy nạp, từ các ví dụ cụ thể để khái quát hóa thành một quy luật lịch sử.
Ví dụ 2: “Cuộc cạnh tranh sinh tồn là kết quả tất yếu của sự tăng trưởng nhanh chóng của mọi sinh vật.”
Luận điểm này được chứng minh bằng cách giải thích rằng do khả năng sinh sản theo cấp số nhân, số lượng cá thể của mỗi loài sẽ tăng lên nhanh chóng nếu không có các yếu tố hạn chế. Vì số lượng cá thể sinh ra lớn hơn số lượng có thể tồn tại, nên必然 xảy ra cuộc cạnh tranh để sinh tồn, hoặc giữa các cá thể cùng loài, hoặc giữa các loài khác nhau, hoặc với các điều kiện vật chất của môi trường.
Ví dụ này minh họa cho luận điểm về cạnh tranh sinh tồn trong tự nhiên.
Ví dụ 3: “Phủ định thường không hàm súc và kém hiệu quả.”
Tác giả dẫn chứng bằng nhiều ví dụ khác nhau: các nhà sư phạm nhận thấy việc cấm trẻ em làm một việc gì đó thường không hiệu quả bằng việc hướng dẫn chúng một hoạt động hữu ích khác; các bác sĩ tâm thần tránh sử dụng từ ngữ phủ định trong ám thị với bệnh nhân, thay vào đó tạo ra một khái niệm tích cực; và trong văn học, phép phủ định hiếm khi tạo ra được một hình ảnh rõ ràng trong tâm trí độc giả. Lập luận ở đây là quy nạp, từ nhiều ví dụ cụ thể để đi đến kết luận chung về tính chất của phủ định.
Ví dụ 4: “Các vua nhà Nguyễn càng gặp khó khăn, càng ngờ vực những người thân cận.”
Để chứng minh điều này, tác giả đưa ra các ví dụ về việc các vua nhà Nguyễn đã nghi ngờ và giết hại các quan lại trung thành như Nguyễn Văn Thành, trừng trị những người dưới quyền của Lê Văn Duyệt, và đối xử khắc nghiệt với các cựu thần nhà Lê hoặc con cháu của họ. Những ví dụ này cho thấy sự ngờ vực và tàn bạo của triều Nguyễn trong giai đoạn suy yếu.
4. Đặc điểm của chứng minh trong khoa học xã hội và nhân văn
Chứng minh trong khoa học xã hội và nhân văn có một số đặc điểm khác biệt so với chứng minh trong toán học và logic học:
- Tính tương đối: Các chứng minh trong khoa học xã hội và nhân văn thường dựa trên các suy luận quy nạp, tương tự, hoặc xác suất, vốn chỉ mang tính chất tin cậy tương đối chứ không đảm bảo tính đúng đắn tuyệt đối. Do đó, các chứng minh này chỉ có tính thuyết phục ở một mức độ nhất định.
- Giải thích nguyên nhân: Các luận cứ thường được trình bày kèm theo sự lý giải, giải thích nguyên nhân để tăng tính thuyết phục.
5. Các phương pháp chứng minh
Có hai phương pháp chứng minh chính: chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp.
a. Chứng minh trực tiếp
Chứng minh trực tiếp là phương pháp chứng minh trong đó tính đúng đắn của luận đề được suy ra trực tiếp từ tính đúng đắn của các luận cứ, mà không cần sử dụng đến phản luận đề.
Ví dụ 5: Cho sáu người, trong đó hai người bất kỳ hoặc là bạn của nhau, hoặc là kẻ thù của nhau. Chứng minh rằng trong số sáu người này có 3 người là bạn lẫn nhau, hoặc có 3 người là kẻ thù lẫn nhau.
Giải: Chọn một người bất kỳ, gọi là A. Trong năm người còn lại, A phải có ít nhất 3 người bạn, hoặc ít nhất 3 kẻ thù (vì nếu số bạn và số thù của A đều nhỏ hơn 3 thì tổng của chúng sẽ nhỏ hơn 5). Giả sử A có 3 người bạn là B, C, D. Nếu trong số B, C, D có một cặp nào đó là bạn của nhau, thì cặp đó cùng với A tạo thành nhóm 3 người bạn lẫn nhau. Ngược lại, nếu trong 3 người B, C, D không ai là bạn của ai, thì họ chính là nhóm 3 người thù lẫn nhau. Trường hợp A có ít nhất 3 kẻ thù được chứng minh tương tự.
Phương pháp chứng minh trực tiếp đôi khi khó thực hiện vì chỉ sử dụng thông tin trong các luận cứ.
b. Chứng minh gián tiếp
Chứng minh gián tiếp là phương pháp chứng minh trong đó tính đúng đắn của luận đề được suy ra từ việc chứng minh tính sai của phản luận đề.
Hai phương pháp chứng minh gián tiếp phổ biến là chứng minh bằng phản chứng và chứng minh phân liệt.
-
Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử luận đề sai (tức là phản luận đề đúng), sau đó sử dụng các luận cứ để dẫn đến một mâu thuẫn. Mâu thuẫn này chứng tỏ giả định ban đầu là sai, và do đó luận đề phải đúng.
Sơ đồ chứng minh bằng phản chứng:
Nếu từ giả định ¬A (phản luận đề) và các luận cứ B1, B2, …, Bn vừa có thể rút ra mệnh đề C, vừa có thể rút ra ¬C (phủ định của C), thì có thể kết luận A (luận đề) là đúng.
Ví dụ 6: Nếu 7n + 3 là số lẻ thì n là số chẵn.
Chứng minh: Giả sử điều ngược lại là đúng: 7n + 3 là số lẻ, nhưng n là số lẻ. Vì n lẻ nên n = 2k – 1 (với k là số tự nhiên). Khi đó, 7n + 3 = 7(2k – 1) + 3 = 14k – 4 = 2(7k – 2), suy ra 7n + 3 là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu (7n + 3 là số lẻ). Vậy, luận đề ban đầu phải đúng.
Biểu đồ này minh họa cách chứng minh bằng phản chứng, trong đó việc bác bỏ phần giao nhau dẫn đến kết luận về tính đúng đắn của luận điểm.
- Chứng minh phân liệt: Chứng minh một mệnh đề tuyển (mệnh đề có dạng “A hoặc B”) bằng cách loại bỏ tất cả các khả năng khác, ngoại trừ khả năng của luận đề. Phương pháp này dựa trên quy tắc tam đoạn luận lựa chọn.
Ví dụ 7: Có một vụ cháy trong thành phố. Cơ quan điều tra chứng minh rằng nguyên nhân gây ra vụ cháy là bất cẩn khi đun nấu. Quá trình điều tra cho thấy nguyên nhân có thể là do bất cẩn khi đun nấu, sự cố điện, hoặc cố ý đốt. Sau đó, họ xác định rằng không có sự cố điện và không có dấu hiệu của việc cố ý đốt. Vậy, nguyên nhân duy nhất còn lại là bất cẩn khi đun nấu.
Cần lưu ý rằng, khi sử dụng phương pháp chứng minh phân liệt trong thực tế, cần đảm bảo tính chân thực của tiền đề dạng tuyển. Vì trong nhiều tình huống, không thể đảm bảo tính đúng đắn tuyệt đối của các mệnh đề dạng này, nên tính thuyết phục của chứng minh phân liệt có thể bị hạn chế.
(Nguồn tài liệu: Phạm Đình Nghiêm, Nhập môn logic học)