Đường cao là một khái niệm quan trọng trong hình học tam giác, xuất hiện nhiều trong các bài toán và ứng dụng thực tế. Vậy đường cao là gì? Bài viết này của Sen Tây Hồ sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về đường cao trong tam giác, bao gồm định nghĩa, tính chất, các công thức tính toán và ứng dụng của nó, giúp bạn nắm vững kiến thức và giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Mục Lục
Định Nghĩa Đường Cao Của Tam Giác
Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao đó. Giao điểm của đường cao và cạnh đáy được gọi là chân đường cao. Độ dài của đường cao chính là khoảng cách từ đỉnh đến cạnh đáy.
Các Tính Chất Quan Trọng Của Đường Cao Trong Tam Giác
Đường cao có nhiều tính chất quan trọng, đặc biệt liên quan đến việc tính diện tích tam giác và các yếu tố khác của tam giác.
Tính Diện Tích Tam Giác
Trong tam giác ABC, với đường cao AH tương ứng với cạnh đáy BC, diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:
SΔABC = (1/2) BC AH
Từ công thức này, ta có thể suy ra công thức tính độ dài đường cao khi biết diện tích tam giác:
AH = (2 * SΔABC) / BC
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AC. Kẻ MK vuông góc với BC. Biết HB/HC = 1/3, tính tỉ số SΔMKC / SΔABC.
Giải:
Vì MK và AH cùng vuông góc với BC nên AH // MK. Do M là trung điểm của AC, suy ra MK là đường trung bình của tam giác AHC. Do đó, K là trung điểm của HC và KC/HC = 1/2.
Vì HB/HC = 1/3 nên HC/BC = 3/4, suy ra KC/BC = 3/8.
Vì MK là đường trung bình của tam giác AHC nên MK/AH = 1/2.
Vậy, SΔMKC / SΔABC = (MK KC) / (AH BC) = (MK/AH) (KC/BC) = (1/2) (3/8) = 3/16.
Tính Chất Đường Cao Trong Tam Giác Cân
Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của cạnh đáy. Điều này có nghĩa là đường cao đi qua trung điểm của cạnh đáy.
Ngược lại, nếu một tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến hoặc đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH và HC = 2HB. Trên đường thẳng đi qua C song song với AH, lấy điểm K sao cho CK = AH và K nằm khác phía với A qua BC. AK cắt BC tại D. Chứng minh tam giác ABD cân.
Giải:
Vì AH và CK cùng vuông góc với BC nên AH // CK. Mà AH = CK, suy ra AHCK là hình bình hành. Do đó, D là trung điểm của HC.
Suy ra HD/HC = 1/2 = HB/HC, vậy HB = HD. Do đó, AH là đường trung tuyến của tam giác ABD.
Vì AH cũng là đường cao của tam giác ABD nên tam giác ABD cân tại A.
Lưu ý: Tam giác đều là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân, do đó tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như trong tam giác cân.
Tính Chất Đường Cao Trong Tam Giác Vuông
Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền có những tính chất đặc biệt liên quan đến các cạnh và góc của tam giác. Tuy nhiên, đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.
Tính Chất Đường Cao Trong Tam Giác Đều
Trong tam giác đều, ba đường cao không chỉ là đường trung tuyến, đường phân giác mà còn là đường trung trực của các cạnh. Chúng đồng quy tại một điểm, điểm này vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác.
Các Công Thức Tính Đường Cao Trong Tam Giác
Có nhiều công thức để tính đường cao, tùy thuộc vào loại tam giác và các thông số đã biết.
Công Thức Heron (Tổng Quát)
Công thức Heron được sử dụng để tính độ dài đường cao của một tam giác bất kỳ:
ha = (2/a) * √(p(p-a)(p-b)(p-c))
Trong đó:
- a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
- p là nửa chu vi của tam giác: p = (a + b + c) / 2
- ha là độ dài đường cao tương ứng với cạnh đáy a.
Công Thức Tính Đường Cao Trong Tam Giác Cân
AH = √(AB2 – (BC2 / 4))
Công Thức Tính Đường Cao Trong Tam Giác Đều
AH = (a√3) / 2 (Với a là độ dài cạnh của tam giác đều)
Công thức này được suy ra từ công thức tính đường cao trong tam giác cân, vì tam giác đều là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân.
Công Thức Tính Đường Cao Trong Tam Giác Vuông
Trong tam giác vuông, có các công thức sau để tính đường cao:
- AH = (AB * AC) / BC
- AH = √(HB * HC)
- 1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH và BK. Chứng minh rằng: 1/BK2 = 1/BC2 + 1/(4AH2)
Giải:
Dựng đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng AC tại D. Khi đó AH // BD (cùng vuông góc với BC).
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là trung tuyến của BC.
=> H là trung điểm BC.
=> AH là đường trung bình của tam giác BCD
=> BD = 2AH
Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuông BCD ta có:
1/BK2 = 1/BC2 + 1/BD2 = 1/BC2 + 1/(4AH2)
Trực Tâm Tam Giác: Giao Điểm Của Ba Đường Cao
Định Nghĩa Trực Tâm
Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác đó. Ba đường cao này luôn cắt nhau tại một điểm, và điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.
- Tam giác nhọn: Trực tâm nằm bên trong tam giác.
- Tam giác vuông: Trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.
- Tam giác tù: Trực tâm nằm bên ngoài tam giác.
Tính Chất Của Trực Tâm Tam Giác
Trực tâm của tam giác có một số tính chất quan trọng:
- Trong tam giác đều, trực tâm đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
- Định lý Carnot: Đường cao kẻ từ một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh đối diện.
- Khoảng cách từ một đỉnh đến trực tâm của tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện của đỉnh đó.
Chứng minh tính chất trực tâm tam giác:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Dựng đường kính BD. Kẻ OI vuông góc với BC.
Vì BD là đường kính => góc BCD = 90 độ
=> DC vuông góc BC. Mà AH vuông góc BC
=> AH // CD
Tương tự có AD // CH do cùng vuông góc với AB
Vậy AHCD là hình bình hành
=> AH = CD (1)
Xét tam giác BCD có:
O là trung điểm BD
OI // CD do cùng vuông góc với BC
=> OI là đường trung bình của tam giác BCD
=> OI = CD/2 (2)
Từ (1) và (2) => AH = CD = 2OI
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Dựng đường cao AN, CK. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt (O) tại điểm thứ hai M. Gọi I là trung điểm AC. Chứng minh rằng IM vuông góc IB.
Giải:
Lấy J là trung điểm BH
Vì góc BKH = góc BNH = 90 độ => tứ giác BNHK nội tiếp đường tròn đường kính BH
=> góc BMH = 90 độ hay BM vuông góc MH (1)
Theo tính chất trực tâm ta có:
OI = BH/2 = JH
Mặt khác: OI vuông góc AC, JH vuông góc BC => OI // JH
=> OIHJ là hình bình hành
=> HI // OJ (2)
Do J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH nên ta có:
JM = JB
Mặt khác OM = OB
=> OJ là đường trung trực của BM
=> OJ vuông góc BM (3)
Từ (2) và (3) => HI vuông góc BM
Mà từ (1) có MH vuông góc BM
Từ đó => I, H, M thẳng hàng và IM vuông góc MB
Bài viết trên đã cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về đường cao trong tam giác, từ định nghĩa, tính chất, công thức tính toán đến ứng dụng và các bài toán liên quan. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán hình học và ứng dụng chúng vào thực tế. Chúc bạn học tốt!